Включение электродвижущей силы в контур.

Задача 11. Постоянная электродвижущая сила Е включается в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки с индуктивностью сопротивления и емкости С (рис. 31).

Рис. 31.

Найти силу тока в любой момент времени если в начальный момент сила тока в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение. На основании закона Кирхгофа (учитывая, что ) составляем уравнение

Продифференцировав обе части этого уравнения по получим линейное однородное уравнение порядка с постоянными коэффициентами:

Его характеристическое уравнение имеет корни где приняты обозначения:

Рассмотрим следующие случаи.

1. . Общее решение (см. пример

Для определения используем начальные условия. Первое условие дает , следовательно,

Второе условие получим, если положим в исходном уравнении, что дает

Вычислим производную и подставим ее. в последнее равенство. Имеем

Поэтому откуда

Окончательное искомое частное решение нашего уравнения будет

2. этом случае где - вещественное число.

Общее решение уравнения:

Используем начальные условия. Первое условие и потому решение принимает вид Вычислим производную . Так как то условие (9) дает откуда

, следовательно, окончательно

3. в этом случае общее решение имеет вид

Первое начальное условие дает и потому Так как то и равенство (9) переходит в откуда Окончательно частное решение уравнения в этом случае

Задача 12. Индуктивность емкость С и сопротивление соединены согласно схеме, изображенной на рис. 32.

Рис. 32.

В контур включается постоянная электродвижущая сила Е, причем до ее включения токи и заряды в системе отсутствовали. Найти силу тока протекающего в катушке самоиндукции, как функцию времени

Решение. Обозначим через силу тока в цепи и составим систему уравнений задачи на основании закона Кирхгофа:

Исключим из этой системы Сложив соответствующие части обоих уравнений, получим:

Если продифференцировать по обе части первого из уравнений (10), то получим:

откуда

При подстановке в уравнение (11) будем иметь:

или уравнение

в котором отсутствует.

Будем решать уравнение (12). Корни его характеристического уравнения равны причем

Предположим сперва, что Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения будет (см.

пример 3 п. 11)

Частное решение 7 неоднородного уравнения (12) будем искать в виде Тогда откуда

Следовательно, а общее решение уравнения (12), равное сумме будет

Определим из начальных условий. Так как при то из (13) получим откуда потому

Вычислим Имеем:

Положив здесь получим:

Теперь можно определить и Учитывая, что при не только но и из уравнения получим:

откуда

Окончательно частное решение I для случая запишется так:

Теперь предположим, что Тогда мнимое число, и мы положим где вещественное число

В этом случае совершенно аналогично получим частное решение в виде

Задача 13. Постоянная электродвижущая сила Е включается в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, изображенных на рис. 33.

Рис. 33.

Найти силы тока в обоих контурах в зависимости от времени если включение производится при нулевых начальных условиях.

Решение. Согласно закону Кирхгофа, составляем систему дифференциальных уравнений:

Здесь М — коэффициент взаимной индукции контуров, остальные обозначения такие же, как и в предыдущей задаче.

Из системы уравнений (14) исключим Для этого умножим обе части первого уравнения на второго — на — М и сложим их. Будем иметь:

или

что получилось в результате деления обеих частей предыдущего уравнения на и замены

Продифференцируем обе части уравнения, найдем выражение и подставим его в первое из уравнений (14):

Разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при будем иметь:

или

где положено

Так как корни характеристического уравнения где положено то общее решение соответствующего однородного дифференциального

уравнения (см. пример 3 п. 11):

Найдем методом неопределенных коэффициентов частное решение неоднородного уравнения. Пусть где А — подлежащий определению коэффициент.

Так как то дифференциальное уравнение (16) переходит в алгебраическое уравнение относительно А:

откуда

Итак, следовательно, общее решение уравнения (16) будет иметь вид

Для определения произвольных постоянных используем начальные условия: при

Подстановка первого из них в решение (19) сразу дает Поэтому решение (19) запишется так:

Возьмем производную

и вычислим ее значение при имеем:

Подставив найденное значение производной и значения из начальных условий в уравнение (15), получим уравнение для определений

Учитывая, что о преобразуем последнее уравнение к виду

откуда

Окончательно частное решение запишется так:

Аналогичным образом можно найти частное решение