Площадь криволинейной трапеции и длина дуги.

Площадь криволинейной трапеции (см. рис. 16), ограниченной цепной линией двумя ординатами, соответствующими абсциссам 0 и и осью равна

Длина дуги цепной линии от вершины до точки равна

Сравнивая выражения для и замечаем, что т. е. площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, построенного на отрезках и так как а из прямоугольного треугольника имеем:

Между прочим, последнее равенство дает очень простой способ графического спрямления цепной линии.

Если криволинейная трапеция (рис. 21) ограничена цепной линией двумя ординатами и осью абсцисс, то ее площадь равна

где — ординаты точек цепной линии соответствующие абсциссам

Длина дуги цепной линии равна

Легко указать, как построить прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции

Рис. 21.

Из вершины А цепной линии как из центра окружности радиусами, равными сделаем засечки на положительной полуоси Ох в точках Эти точки отстоят от начала координат на расстояниях Поэтому

прямоугольник со сторонами и будет иметь площадь равную площади криволинейной трапеции .

Отрезок длине равен дуге

Если ввести углы образованные с осью Ох касательными к цепной линии в точках то

В самом деле, . В то же время

а так как то в свою очередь