7. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан)

Зависимость между гиперболическими и тригонометрическими функциями можно установить без участия мнимой единицы с помощью специального угла, называемого гиперволической амплитудой или гудерманианом.

Рис. 12.

На равносторонней гиперболе (рис. 12) возьмем точку Из начала координат, как из центра, радиусом, равным единице, опишем дугу окружности и в точке А проведем к ней касательную до пересечения в точке С с прямой проведенной из точки параллельно оси абсцисс. Начало координат О соединим с точкой С прямой, пересекающей окружность в точке Угол называется гиперболической амплитудой или гудерманиано и, соответствующим точке М гиперболы, а также аргументу гиперболических функций Границы его изменения от до Если соединить точку с основанием Р перпендикуляра, опущенного из

точки М на ось то получим треугольник в котором угол прямой. Чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что Для этого заметим, что из подобия треугольников и где — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось следует, что откуда Заменяя в уравнении гиперболы на которой лежит точка через получим откуда Так как точка лежит на окружности, то и потому в первой четверти имеем соотношение

Теперь можно проверить справедливость доказываемого равенства. Имеем ибо Следовательно, что и требовалось доказать.

Из прямоугольных треугольников и имеем соответственно;

Кроме того,

Итак, мы получили соотношения:

Для гиперболической амплитуды (гудерманиана) соответствующей аргументу гиперболических функций применяются обозначения

Если известен гудерманиан то легко найти аргумент и наоборот. Для этого воспользуемся формулой в которой произведем замену через через получим:

и, следовательно,

Можно получить еще одну зависимость между и

В самом деле,

Из формулы (9) имеем:

Последнюю формулу удобно использовать для исследования функции и построения ее графика. При При функция

а следовательно, При

График функции дан на рис. 13.

Понятие гудерманиана обобщается и на случай мнимого аргумента. При этом можно получить любопытное соотношение.

Рис. 13.

Если то, как было показано, справедливо равенство Умножив обе его части на получим:

Так как

откуда

Итак, если

Можно ввести также функцию, обратную гудерманиану. Если то у обозначается следующим образом: