4. Показательные, тригонометрические и гиперболические функции от комплексного аргумента. Формулы Эйлера

До сих пор мы рассматривали только действительные значения аргумента показательной функции, а также тригонометрических и гиперболических функций. Возникает вопрос, как определить эти функции для комплексных значений аргумента. Ведь обычные, известные из элементарной математики, определения тригонометрических и показательной функций, а следовательно и гиперболических функций, давались только для действительных значений аргумента.

Мы определим эти функции при комплексных, в частности, мнимых значениях аргумента с помощью их разложений в степенные ряды, полагая, что аргумент может принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Итак, если где х и у — действительные числа, — мнимая единица, то, по определению, под символами понимают суммы следующих абсолютно сходящихся при любом рядов:

В связи с этим гиперболические функции определяются как соответствующие комбинации показательных функций и или равносильными этим комбинациям рядами:

Эти ряды сходятся на всей плоскости т. е. при всех комплексных значениях

Функции определяются с помощью равенств:

Распространив понятие показательной и тригонометрических функций на комплексную, область, мы обнаружим интересные соотношения между показательными и тригонометрическими функциями, отсутствующие в действительной области.

Согласно нашему определению, функцию — комплексная величина, можно записать в виде ряда

Так как , вообще, где , то

Содержащиеся в скобках ряды являются разложениями функций поэтому

Если в этом равенстве заменить на то получим:

Обе эти формулы дают выражения показательных функций через тригонометрические и Из

них легко получить еще две формулы, выражающие тригонометрические функции через показательные

Все четыре выведенные формулы называются формулами Эйлера. Из первой формулы Эйлера, в частности, Получаем:

и т. д. Вообще,

где

Формулы Эйлера позволяют ввести еще одну так называемую показательную форму комплексного числа наряду с его алгебраической и тригонометрической формами.

Рис. 11.

Как известно, алгебраическая форма комплексного числа имеет вид где х и у — действительные числа.

Если ввести модуль и аргумент числа (рис. 11), связанные с действительной и мнимой частями х и у числа соотношениями то из алгебраической формы комплексного числа получим тригонометрическую:

а из нее по формуле Эйлера легко перейти к показательной форме: Заметим, что каждое комплексное число (кроме нуля, для которого понятие аргумента теряет смысл) имеет бесчисленное множество аргументов, ибо увеличение или уменьшение на число, кратное не изменяет комплексного числа. В связи с этим для аргумента приняты два обозначения: и Первое употребляется для всевозможных значений аргумента, а второе — только для главного значения, выделяемого неравенствами или

Если — действительные числа, то справедливо равенство

С помощью рядов его можно написать в виде

Так как сходимость (и притом абсолютная) этих рядов не нарушится при замене действительных чисел любьши комплексными числами а ряды с комплексными членами можно перемножать по правилу умножения рядов с действительными членами, то можно утверждать, что равенство

справедливо при любых комплексных числах

Если где , у — действительные числа, то

но , следовательно,

Отсюда следует, что и одно из значений равно у. Последнее равенство позволяет вычислять значения

показательной функции при любом комплексном показателе степени Например,

Подобно этому формулы (12) и (13) дают возможность вычислять значения при любом комплексном аргументе Например,

Ниже будет показан другой, более удобный практически, способ вычисления этих значений, позволяющий получить ответ непосредственно в гиперболических функциях, минуя показательные.

С помощью первой формулы Эйлера можно показать, что в комплексной области показательная функция оказывается периодической с мнимым периодом

В самом деле, прибавим к аргументу показательной функции мнимое число Получим

Периодичность доказана.

В комплексной области тригонометрические функции остаются периодическими и имеют те же периоды, что и в действительной области. В этом легко убедиться с помощью третьей и четвертой формул Эйлера (формулы (12) и (13)), если произвести в них замену на Так как

а

то

что доказывает, что функции периодические и имеют период, равный и в комплексной области.

Периодичность и можно обнаружить с помощью тех же формул. Имеем , следовательно,

Таким образом, функции и также периодические и имеют период, равный

Проверим, что для функций при любых комплексных значениях сохраняется основное тождество

В самом деле,

Точно так же сохраняются в комплексной области и все остальные тождества, связывающие тригонометрические функции.

Гиперболические функции в комплексной области также периодические, при этом функции имеют период — период Это вытекает непосредственно из формул (4), (5), (8) и (9). При замене в первых двух формулах на они вследствие периодичности функций остаются без изменения, а при замене в последних двух формулах на числители и знаменатели правых частей меняют свои знаки на противоположные, что величин самых дробей не изменяет.

Нетрудно убедиться в том, что основное тождество между функциями а именно: сохраняется и в комплексной области, так же как и все остальные тождества между гиперболическими функциями.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)