ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

12. Цепная линия

График гиперболической функции называется цепной линией. Это название связано с тем, что цепь, подвешенная свободно за оба конца, принимает форму этой кривой. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую задачу.

Задача о провисании нити.

Тяжелая гибкая однородная нерастяжимая нить, закрепленная концами в двух точках (рис. 14), провисает под действием собственного веса. Вывести уравнение линии провисания нити.

Решение. Выделим бесконечно малый элемент нити отточки до точки и выясним, какие силы на него действуют. В точке М на нить действует натяжение Т, направленное по касательной к кривой; его составляющие по осям координат Н и V. Соответственно в точке имеется натяжение направленное по касательной в точке с составляющими Кроме того, на элемент действует направленная вертикально,

Рис. 14.

кально вниз сила тяжести где дифференциал длины дуги нити, -вес единицы длины нити.

Как известно из статики, если система сил находится в равновесии, то сумма проекций на любую ось всех действующих на нее сил равна нулю. Проектируя на ось получим или откуда следует, что т. е. что горизонтальная составляющая натяжения во всех точках одна и та же. Проектируя на ось получим или

Если обозначить через а угол, образованный касательной в точке М кривой с осью то, как легко видеть,

Дифференцируя по х, будем иметь:

но так как , то

Пользуясь известным выражением производной длины дуги по абсциссе

получим дифференциальное уравнение

где принято обозначение .

Общее решение этого уравнения (см. пример

представляет собой семейство цепных линий.

Если подобрать произвольные постоянные так, чтобы удовлетворялись граничные условия при при то мы найдем искомую линию провисания.

Для упрощения уравнения можно произвести преобразование координат, положив т. е. перенеся оси параллельно самим себе и приняв за новое начало точку координаты которой находятся из граничных условий. Если за новыми координатами сохранить прежние обозначения, то будем иметь уравнение цепной линии

Вместо задания двух точек цепной линии можно задать одну точку и направление касательной в ней, например, вершину — низшую точку цепной линии, в которой касательная горизонтальна. Из этих начальных условий (у —а и при можно легко определить произвольные постоянные Для этого вычислим производную и подставим в выражения для у и их значения при Будем иметь откуда откуда Таким образом, частным решением нашего уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция графиком которой служит цепная линия с осью симметрии, совпадающей с осью Оу, отсекающая на оси О у отрезок где — вес единицы длины нити, а — горизонтальная проекция натяжения в любой точке нити.

Заметим, что из соотношения рис. 14) вытекает, что в вершине цепной линии, где натяжение нити имеет наименьшее значение.

Принимая во внимание, что откуда следует, что заключаем, что в любой точке М цепной линии натяжение нити равно по величине весу отрезка нити длины, равной ординате точки М.

Вертикальная проекция V натяжения определяется следующим образом:

Очевидно, что решение задачи нисколько не изменится, если, кроме собственного веса нити, учесть также действующую на нее нагрузку при условии, что она распределена равномерно по длине нити.

Совершенно иначе обстоит дело, если предположить, что нагрузка на нить распределяется равномерно не по длине нити, а по ее горизонтальной проекции. В этом случае нить располагается не по цепной линии, а по параболе.

Цепная линия обладает многими замечательными свойствами. Рассмотрим некоторые из них, произведя попутно вычисления и построения связанных с ней элементов.