Движение шарика во вращающейся трубке.

Задача 7. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси (рис. 29). Находящийся внутри трубки шарик М скользит по ней без трения. В начальный момент, шарик находится на расстоянии а от оси вращения; его начальная скорость равна нулю. Найти закон движения шарика относительно трубки.

Рис. 29.

Решение. Обозначим расстояние от оси вращения до шарика через Задачу будем решать так, как если бы трубка оставалась неподвижной, но на шарик действовала центробежная сила где

масса шарика. Составим дифференциальное уравнение относительного движения

Его общее решение (см. пример 1 п. .11).

Из начальных условий при находим

Поэтому закон относительного движения шарика будет

Йели изменить начальные условия, предположив, что в начальный момент шарик находится на оси вращения и имеет скорость (вдоль трубки), т. е. при то и частное решение примет вид

Задача 8. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружины на шарик пропорциональна деформации, причем сила в дин вызывает изменение длины пружины на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии Масса шарика равна т.

Решение. По условию задачи сила действия пружины на шарик связана с деформацией равенством где с — коэффициент, подлежащий определению. Так как при то и потому но следовательно, сила действия пружины

Суммарная величина действующих на шарик сил равна Поэтому дифференциальное уравнение имеет вид

Начальные условия: при

Характеристическое уравнение имеет корнями числа

Рассмотрим три возможных случая.

1. ; обозначим Уравнение запишется так:

Общее решение соответствующего однородного уравнения

частное решение неоднородного уравнения, как легко видеть, будет

и потому общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

Из начальных условий находим, что

Следовательно, закон относительного движения шарика в этом случае

2. ; уравнение приводится к виду

откуда Изначальных условий находим Следовательно, закон движения

3. ; введем обозначение уравнение запишется в виде

Общее решение однородного уравнения:

частное решение неоднородного уравнения легко найти:

Общее решение неоднородного уравнения:

Из начальных условий находим Следовательно, закон движения:

Задача 9. Трубка вращается с угловой скоростью (см. условия задачи 7); в ней находятся два шарика с массами соединенные легкой упругой пружиной длиной см, причем в начальный момент пружина не растянута и шарики одинаково удалены от оси вращения (рис. 30).

Рис. 30.

Сила растягивает пружину на 1 см. Шарики удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В начальный момент времени действие

механизма прекращается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика относительно трубки.

Решение. Обозначим через координату более тяжелого шарика (относительно трубки) и через — более легкого, причем отсчет будем вести от оси вращения, а ось Ох направим так, как показано на рис. 30.

Если, согласно условию задачи, принять где — сила действия пружины на каждый из шариков, а — деформация пружины, то

Составим дифференциальные уравнения относительного движения каждого из шариков:

Эту систему дифференциальных уравнений удобно решать так. Путем сложения обеих частей первого уравнения с соответствующими частями второго получим:

Обозначив получим уравнение

Его общее решение или где принято, согласно условию, и положено —

Начальные условия таковы: при

Вычислим и подставим сюда, а также в выражение начальные условия. Получим , следовательно,

Отсюда находим

и подставляем в первое из системы дифференциальных уравнений, преобразованных к виду

Подстановка исключает переменное и приводит к уравнению, содержащему только

или

Решая это уравнение, получим обцее решение однородного уравнения а частное решение X неоднородного уравнения будем искать в виде

Так как при этом то, подставив X и X" в дифференциальное уравнение, получим тождество

откуда находим — следовательно, и общее решение запишется в виде

Остается определить Начальные условия дают:

Окончательно, имеем закон движения шарика с массой

Для нахождения закона движения шарика с массой подставим найденное выражение в равенство (8) и получим:

или

Задача 10. Решить задачу 7 с учетом трения. Решение. Величина трения вычисляется по закону Кулона где — коэффициент трения скольжения, нормальное давление одного тела на другое. В нашем случае Р есть сила давления шарика на стенки трубки, т. е. сила Кориолиса, равная Поэтому

Составляем дифференциальное уравнение относительного движения шарика:

Преобразовав его к виду

замечаем, что получилось уравнение, рассмотренное в примере Его общее решение:

Вычислим производную

и подставим в выражение и их значения из начальных условий при Имеем откуда

В соответствии с этим частное решение принимает вид