11. Интегрирование некоторых дифференциальных уравнений

Гиперболические функции находят применение при интегрировании некоторых дифференциальных уравнений. Не говоря о том, что в процессе интегрирования уравнений можно получить квадратуры, которые сравнительно легко вычисляются при помощи гиперболических подстановок, решения многих дифференциальных уравнений, в частности линейных, удобно выражать через гиперболические функции. При этом значительно сокращаются выкладки и сами решения

получаются в более компактной форме. Кроме того, гиперболические подстановки позволяют иногда упростить дифференциальные уравнения, сводя их к легко интегрируемым видам.

Рассмотрим несколько примеров на отыскание решений дифференциальных уравнений, в первую очередь линейных однородных и неоднородных уравнений 2-го и 4-го порядков с постоянными коэффициентами, наиболее часто встречающихся на практике.

Пример 1. Это однородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет корни а. Поэтому частными решениями будут показательные функции а также их линейные комбинации. Примем в качестве частных решений полусумму и полуразность показательных функций Легко убедиться в линейной независимости этих частных решений. Для этого составим и вычислим определитель Вронского:

Так как , то наши частные решения образуют фундаментальную систему и общее решение запишется в виде

Если задать начальные условия и при то, подставив сначала значения х и у в общее решение, получим а вычислив производную и подставив в нее значения х и у, получим и таким образом частное решение выражается через гиперболический косинус

Если изменить начальные условия, задав и при то в качестве частного решения получим гиперболический синус

Пример 2. Это неоднородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Для отыскания его общего решения применим метод вариации постоянных. С этой целью возьмем общее решение соответствующего однородного уравнения (пример 1)

, полагая подберем эти функции таким образом, чтобы функция

удовлетворяла нашему неоднородному уравнению. Поскольку мы варьируем обе произвольные постоянные, а накладываем только одно это условие, то мы вправе ввести еще одно условие, например, потребовать, чтобы выражение первой производной, вычисленное при переменных имело такой же вид, как и при постоянных Так как то это условие сводится к следующему уравнению относительно

и, таким образом,

Вычислим вторую производную; имем:

Выражения функции у и производной у" через х подставим в исходное уравнение. После несложных алгебраических преобразований получим:

Итак, мы имеем систему из двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Система совместна и имеет единственное решение, так как определитель системы отличен от нуля:

Решая эту систему, получим выражения производных искомых произвольных «постоянных»:

а с помощью квадратур запишем и самые произвольные «постоянные»:

Здесь — любая постоянная, — новые произвольные постоянные (без кавычек), а переменная интегрирования во избежание путаницы в дальнейшем обозначается через

Подставив выражения в функцию получим общее решение неоднородного уравнения в виде.

или в окончательной компактной форме

Легко заметить, что сумма последних двух членов полностью соответствует общему решению однородного уравнения что же касается первого члена, то он представляет собой частное решение неоднородного уравнения, которое в сумме с общим решением однородного уравнения составляет, согласно теории лицейных уравнений,

общее решение неоднородного уравнения. Так, если дано, в частности, где то частное решение этого конкретного неоднородного уравнения будет

следовательно, общее решение имеет вид

Пример Это однородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет корни

Рассмотрим только случай

когда корни вещественные и разные.

Положим

Тогда и частьыми решениями уравнения будут функции и а также их линейные комбинации. Примем в качестве частных решений полусумму и полуразность этих функций:

и

Легко убедиться в том, что эти решения образуют фундаментальную систему, и, следовательно, общее решение уравнения имеет вид

Пример Это неоднородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение будем искать, как в примере 2, методом вариации постоянных, входящих в общее решение соответствующего однородного уравнения (см. пример 3), причем, как в примере 3, ограничимся случаем, когда имеем:

Как в примере 2, потребуем, чтобы выражение, стоящее в последних квадратных скобках, обратилось в нуль. Это дает нам первое уравнение относительно

Запишем первую производную в виде

и вычислим вторую производную

Теперь умножим у на на и подставим эти произведения вместе с У в исходное уравнение; после приведения

подобных членов получим:

Так как то выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается в нуль, и мы приходим ко второму уравнению относительно

которое вместе с первым уравнением образует систему из двух алгебраических линейных уравнений с неизвестными Составим определитель системы А и вычислим его:

Следовательно, система совместна и имеет единственнох решение. Корни ее дают производные искомых произвольные «постоянных»

С помощью квадратур запишем и сами произвольные «постоянные»:

Здесь, как в примере 2, - любая постоянная, и -новые произвольные постоянные (без кавычек), переменная интегрирования.

Подставляя функции в выражение получим общее решение неоднородного уравнения в виде

Как и в примере 2, первый член представляет частное решение неоднородного уравнения, а второй — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Заметим, не производя выкладок, что в случае частное решение

где в случае — частное решение

Пример Это однородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет корни где решение Если заменить через через то будем иметь: где положено и

Пример Это тоже однородное линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение Для

нахождения его корней разложим левую часть на множители следующим образом:

Приравнивая нулю выражения, стоящие в скобках, каждое в отдельности, получим два квадратных уравнения. Решая их, будем иметь корни характеристического уравнения Поэтому общим решением будет функция

Если, как и в предыдущем примере, произвести замену то после несложных алгебраическах преобразований получим общее решение в виде

где положено

Рассмотрим несколько примеров на нелинейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков.

Пример 7. . Это уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных получим:

откуда, беря квадратуры, будем иметь общий интеграл

или общее решение

Если задать начальное условие при то, подставив в общее решение вместо х и у их значения, получим

откуда следует, что произвольное постоянное С равно нулю, и потому частным решением уравнения будет гиперболический синус

Пример 8. Это нелинейное уравнение порядка, которое подстановкой и соответственно сводится к уравнению порядка После разделения переменных получим откуда, беря квадратуры, придем к уравнению потенцируя которое, будем иметь — или

Взяв квадратуры, получим откуда (знак минус перед аргументом под знаком гиперболического косинуса опускаем, ибо косинус является четной функцией).

Пример Это нелинейное уравнение порядка, которое, как и в предыдущем примере, подстановкой сводится к уравнению порядка откуда, сократив на (полагаем , случай дает тривиальное решение и взяв квадратуру, получим или . Разделив переменные, будем иметь

При интегрировании левой части полученного уравнения могут представиться две возможности:

1) если принять и положить то получим или откуда где положено

2) если принять и положить то получим — или откуда где, как и выше, положено причём предполагается, что имеем

Во всех разобранных примерах гиперболические функции возникали в процессе интегрирования уравнений. Разберем несколько примеров на применение гиперболических подстановок для упрощения дифференциальных уравнений до их интегрирования.

Пример 10. Положим Тогда уравнение преобразуется к виду откуда дифференцированием находим, что или заменяя у через Сокращая на получим откуда а следовательно,

Пример Положим Тогда и уравнение преобразуется к виду откуда Поэтому и окончательно

Пример Положим Тогда и уравнение принимает вид После упрощения получим откуда и, следовательно,

Пример Положим, как и в предыдущем примере, Вычислив у и перейдя

к переменным преобразуем уравнение к виду откуда , и, следовательно,

Рассмотрим более сложный пример на интегрирование дифференциального уравнения, содержащего гиперболические функции.

Пример 14. Это линейное уравнение порядка с переменными коэффициентами. Преобразуем его к более простому виду. Для этого подберем соответствующую функцию и произведем замену переменной, положив Имеем:

следовательно,

Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обратилось в нуль, т. е. потребуем, чтобы

Это нелинейное дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка, так как в нем отсутствует аргумент

Чтобы проинтегрировать его, положим тогда и уравнение примет вид

Взяв квадратуры, получим:

(здесь положено ибо нам достаточно иметь одну какую-нибудь функцию Взяв квадратуры в последнем уравнении, будем иметь:

Выбрав мы преобразуем исходное уравнение к виду

Общее решение этого уравнения

и окончательно

Рассмотрим пример на интегрирование дифференциального уравнения в частных производных.

Пример 15. Найти частное решение дифференциального уравнения Лапласа

удовлетворяющее граничным условиям:

Решение. Используя первое граничное условие, будем искать частное решение в виде произведения

где — неизвестная функция, зависящая только от у и обращающаяся в а при

Вычислив частные производные порядка

и подставив их в уравнение Лапласа, мы получаем тождество

откуда, так как , имеем обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Его общее решение (см. пример 1) .

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего условию подставим в общее решение а вместо и 0 вместо у, что дает , следовательно, . Поэтому

Используем второе граничное условие. Найдем подставим 0 вместо и вместо у. Имеем:

а после подстановки

откуда, поскольку ,

Из этого уравнения находим отношение

и подставляем его в Имеем:

или, заметив, что

получим ответ:

где положено

Эта задача встречается в гидродинамике при отыскании потенциала скоростей волн в канале глубины с вертикальными стенками.

Рассмотрим пример на решение функционального уравнения, т. е. уравнения, из которого требуется определить общий вид функции.

Пример 16. Найти такую дважды дифференцируемую функцию , чтобы соотношение

оставалось справедливым для всех значений

Решение. Продифференцируем заданное равенство по х, а затем по у; получим:

Второе равенство перепишем так:

откуда заключаем, что функция не должна изменяться от замены на Так как могут иметь любые значения и не зависят друг от друга, то

где

Рассмотрим два случая.

1) ; Получаем дифференциальное уравнение

Его общее решение (см. пример 1)

Если в исходном равенстве положить то получим:

Так как то мы имеем условие которое позволяет определить одну из произвольных постоянных. Для этого подставим значение в общее решение; тогда

откуда , следовательно, где вместо взято С.

2) . Получаем дифференциальное уравнение

Его общее решение

Дополнительное условие приводит к соотношению откуда , следовательно, где, как и в предыдущем случае, произведена замена на С.

В заключение рассмотрим одну геометрическую задачу. Пример 17. Найти кривую, у которой величина отрезка, отсекаемого касательной в любой точке кривой на оси пропорциональна секансу угла образованного радиус-вектором этой точки с осью

Решение. Величина отрезка, отсекаемого касательной на оси равна Так как то

Составляем дифференциальное уравнение

и преобразуем его к виду

Его общее решение (см. пример 13)

(знак минус в правой части отсутствует потому, что в нашем уравнении, в отличие от примера 13, коэффициент а входит со знаком минус, который можно вынести за знак гиперболического синуса как нечетной функции).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)