Касательная и нормаль.

Возьмем на цепной линии произвольную точку Общий вид уравнения касательной . В нашем случае — угол, образованный касательной с осью поэтому уравнение касательной в точке М имеет вид

или

где X, Y — текущие координаты точки касательной.

Общий вид уравнения нормали

Следовательно, в точке М цепной линии уравнение нормали имеет вид

или

где X, Y — текущие координаты точки нормали.

Если, например, то и уравнения касательной и нормали в точке запишутся в виде

Требуемые значения гиперболических функций можно найти по таблицам (см. стр. 179):

Обозначим через (рис. 15) соответственно длины отрезка касательйой отрезка нормали подкасательной и поднормали

Рис. 15.

Для вычисления этих величин легко получить следующие формулы:

Здесь а — угол, образованный касательной с осью причем Вычислим . Имеем:

На соотношении основаны два следующих способа построения касательной к цепной линии в заданной на ней точке М.

Первый способ. На ординате точки М цепной линии (рис. 16) как на диаметре строим окружность.

Рис. 16.

Из точки Р как из центра дугой окружности радиуса а сделаем на первой окружности засечку в точке К и проведем прямую до пересечения с осью Ох в точке Так как косинус угла равен то но ибо, как это видно из рассмотрения прямоугольных треугольников и оба угла дополняют один и тот же угол до прямого. Следовательно, прямая является касательной к цепной линии в точке М.

Второй способ. Из вершины А цепной линии (рис. 17) как из центра окружности радиусом, равным ординате точки М,

сделаем засечку в точке на той полуоси со стороны которой находится точка М. Точку соединим прямой с вершиной А. На эту прямую опустим из точки М перпендикуляр Докажем, что он и будет касательной в точке М. В самом деле, по построению следовательно, МТ — касательная.