Центр тяжести криволинейной трапеции и дуги.

Определим центры тяжести площади криволинейной трапеции и дуги (рис. 16). Как известно, координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции (с постоянной поверхностной плотностью) определяются по формулам где — статические моменты площади относительно осей и равные соответственно

В нашем случае

Поэтому

Аналогично координаты центра тяжести дуги однородной кривой (с постоянной линейной плотностью) определяются по формулам где и — статические моменты дуги кривой относительно осей и равные соответственно

В нашем случае

(см. скан)

Поэтому

Сравнивая формулы для координат центров тяжести криволинейной трапеции и дуги цепной линии, замечаем, что т. е. их абсциссы одинаковы, а ордината центра тяжести трапеции вдвое меньше ординаты центра тяжести дуги.

Формулы для вычисления координат центра тяжести дуги цепной линии могут быть преобразованы к виду

где а — угол, образованный касательной в точке М с осью Это следует из равенства

Рис. 22.

С помощью этих формул можно построить центр тяжести дуги Очевидно, его абсцисса равна абсциссе точки пересечения касательных, проведенных в вершине А цепной линии и в точке М (рис. 22), а ордината

равна половине отрезка, отсекаемого на оси Оу нормалью в точке М.

Если абсциссы точек (рис. 21) имеют одинаковые знаки (например, длины дуг причем координаты центров тяжести этих дуг, то можно доказать, что координаты центра тяжести дуги длиной определяются по формулам

Если же абсциссы точек имеют противоположные знаки, т. е. эти точки находятся по разные стороны от оси то

Рис. 23.