Скольжение цепочки.

Задача 5. Тяжелая однородная цепочка длиной расположена так, что часть ее лежит на гладком горизонтальном столе, а конец ее длиной а свисает над краем стола (рис. 28). Из этого положения цепочка начинает скользить вниз. За какое время она соскользнет со стола?

Рис. 28.

Решение. Определим движение нижнего конца цепочки. Начало координат выберем в точке О и направим ось вниз. Абсцисса точки А в момент времени равна 5. Ускоряющей силой является вес свисающей со стола части цепочки она придает всей массе цепочки ускорение поэтому дифференциальное уравнение движения запишется в виде

Его общее решение (см. пример 1 п. 11):

Из начальных условий при определяем и закон движения будет

Когда цепочка соскользнет со стола, то и время скольжения Т можно определить из уравнения

откуда получаем, что

Если, например, то сек.

Задача 6. Тяжелая однородная цепочка переброшена через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее длиной а с другой стороны — часть в За какое время цепочка соскользнет с гвоздя?

Решение. Обозначим через путь в метрах, пройденный за время концом опускающейся части цепочки; длина этой части будет равна а поднимающейся Ускоряющая сила при скольжении равна разности весов частей цепочки, свисающих с обеих сторон, т. е. где у — вес цепочки. Ускорение в момент времени равно где — масса всей цепочки, - коэффициент, который можно определить, если учесть, что в тот момент, когда вся цепочка соскользнет, т. е. при ее ускорение станет равным

Следовательно, откуда

Составляем дифференциальное уравнение

Общее решение соответствующего однородного уравнения (см. пример 1 п. 11) а частное решение неоднородного уравнения

Поэтому общее решение нашего уравнения

Из начальных условий при находим

Следовательно, частным решением исходного уравнения будет функция

Она определяет путь, пройденный концом опускающейся части цепи.

Когда цепь соскользнет гвоздя, то поэтому

откуда