Кривизна и радиус кривизны.

Вычислим кривизну и радиус кривизны цепной линии в любой ее точке. Для этого найдем и подставим их выражения в формулы кривизны плоской кривой радиуса кривизны Имеем К

и потому кривизна равна

а радиус кривизны

Можно дать простой способ построения центра С кривизны цепной линии в точке М (рис. 15). Заметив, что длина отрезка нормали цепной линии между точкой М на кривой и осью Ох равна радиусу кривизны отложим на нормали в точке М в сторону вогнутости цепной линии отрезок Точка С и есть центр кривизны в точке М.

Наименьший радиус кривизны будет в вершине цепной линии , в которой ордината у цепной линии наименьшая. Радиус кривизны в этой точке равен .

Эволюта цепной линии. Эволютой кривой называется геометрическое место центров кривизны кривой. Если обозначить через X, К текущие координаты точки эволюты, то параметрические уравнения эволюты кривой в общем

виде, как известно, таковы:

Здесь за параметр может быть принят либо х, либо у либо произвольная величина Л через которую выражаются х и у.

Для нахождения эволюты цепной линии — (рис. 18) примем за параметр х.

Рис. 18.

Вычислим и подставим в, общие уравнения эволюты выражения через х. Так как — то получим:

Исключим параметр х. Из второго уравнения находим Следовательно,

Подставив полученные выражения в первое уравнение, будем иметь уравнение эволюты цепной линии в неявной форме:

Здесь текущие координаты обозначены через вместо