Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Соотношения между гиперболическими функциямиРазличные тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом известных соотношений. Аналогичные соотношения имеют место и для гиперболических функций. При этом основному тригонометрическому тождеству
в справедливости которого легко убедиться простой проверкой. Имеем:
Некоторые важные соотношения могут быть получены и из формулы (1):
Соотношения (2) и (3) получаются путем деления Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для тригонометрических функций, любую гиперболическую функцию аргумента х выразить через любую другую гиперболическую функцию того же аргумента. Ниже приводится соответствующая таблица для первых четырех функций:
Здесь имеет место очень простое правило знаков: Легко также вывести формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргумента, а также для сумм, разностей и произведений гиперболических функций. Эти формулы аналогичны соответветствующим тригонометрическим формулам. Приводим сводку этих формул.
(кликните для просмотра скана) Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим следующие выражения:
Теперь легко найти, что
Таким образом, формулы (9)-(12) проверены. Формулы (13) и (14) получаются путем деления обеих частей формул (9) и (10) на соответствующие части формул (11) и (12) с последующим преобразованием полученных правых частей к виду, содержащему только гиперболические тангенсы; для этого следует числители и знаменатели правых частей разделить на Формулы (15) и (16) получаются аналогичным образом путем деления обеих частей формул (11) и (12) на соответствующие части формул (9) и (10). Для вывода формул (17) — (20) следует положить Формулы (21) и (22) можно вывести, исходя из формул (18) и (1), заменяя в них х через
Вычитая и складывая, получим:
откуда вытекают формулы (21) и (22). Для получения формул (23) и (24) следует разделить обе части формулы (21) на соответствующие части формулы (22), и наоборот. Для вывода формул (25) и (26) выпишем формулы (9) и (10), заменив в них
Складывая и вычитая, получим:
В этих формулах положим Аналогичным образом поступим для вывода формул (27) и (28). Возьмем соотношения:
Складывая и вычитая, получим:
Полагая, как ранее, Формулы (29) получим путем преобразования выражений
Аналогично получаются формулы (30). Формулу (32) легко вывести путем сложения соответствующих частей формул (9) и (10), а формулы (31) и (33) — путем вычитания и сложения соответствующих частей формул (11) и (12). В дальнейшем будет показано, какие многочисленные применения находят гиперболические функции. Здесь же мы пока ограничимся приложением гиперболических функций к решению кубических уравнений. Если кубическое уравнение имеет так называемый приведенный вид:
то, как доказывается в курсе высшей алгебры, корни его можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических функций по следующей таблице:
Здесь В качестве примера решим кубическое уравнение По формуле для вычисления Подставляя вычисленные значения
Упражнения(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|