2. Соотношения между гиперболическими функциями

Различные тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом известных соотношений. Аналогичные соотношения имеют место и для гиперболических функций. При этом основному тригонометрическому тождеству соответствует тождество, связывающее гиперболические синус и косинус:

в справедливости которого легко убедиться простой проверкой.

Имеем:

Некоторые важные соотношения могут быть получены непосредственно из определения гиперболических функций

и из формулы (1):

Соотношения (2) и (3) получаются путем деления на на Соотношения (4), (5) и (6) проверяются непосредственно, а (7) и (8) получаются из (1) делением обеих его частей соответственно на с учетом предыдущих соотношений.

Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для тригонометрических функций, любую гиперболическую функцию аргумента х выразить через любую другую гиперболическую функцию того же аргумента. Ниже приводится соответствующая таблица для первых четырех функций:

Здесь имеет место очень простое правило знаков: всегда положителен, имеют тот же знак, что и аргумент. Соответственно этому правилу, если то следует перед корнем взять знак плюс, а если то надо взять знак минус.

Легко также вывести формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргумента, а также для сумм, разностей и произведений гиперболических функций. Эти формулы аналогичны соответветствующим тригонометрическим формулам.

Приводим сводку этих формул.

(кликните для просмотра скана)

Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим следующие выражения:

Теперь легко найти, что

Таким образом, формулы (9)-(12) проверены.

Формулы (13) и (14) получаются путем деления обеих частей формул (9) и (10) на соответствующие части формул (11) и (12) с последующим преобразованием полученных правых частей к виду, содержащему только гиперболические тангенсы; для этого следует числители и знаменатели правых частей разделить на .

Формулы (15) и (16) получаются аналогичным образом путем деления обеих частей формул (11) и (12) на соответствующие части формул (9) и (10).

Для вывода формул (17) — (20) следует положить в формулах (9), (11), (13) и (15).

Формулы (21) и (22) можно вывести, исходя из формул (18) и (1), заменяя в них х через Имеем:

Вычитая и складывая, получим:

откуда вытекают формулы (21) и (22).

Для получения формул (23) и (24) следует разделить обе части формулы (21) на соответствующие части формулы (22), и наоборот.

Для вывода формул (25) и (26) выпишем формулы (9) и (10), заменив в них через

Складывая и вычитая, получим:

В этих формулах положим откуда и формулы (25) и (26) проверены.

Аналогичным образом поступим для вывода формул (27) и (28). Возьмем соотношения:

Складывая и вычитая, получим:

Полагая, как ранее, , следовательно, получим формулы (27) и (28).

Формулы (29) получим путем преобразования выражений

Аналогично получаются формулы (30).

Формулу (32) легко вывести путем сложения соответствующих частей формул (9) и (10), а формулы (31) и (33) —

путем вычитания и сложения соответствующих частей формул (11) и (12).

В дальнейшем будет показано, какие многочисленные применения находят гиперболические функции. Здесь же мы пока ограничимся приложением гиперболических функций к решению кубических уравнений.

Если кубическое уравнение имеет так называемый приведенный вид:

то, как доказывается в курсе высшей алгебры, корни его можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических функций по следующей таблице:

Здесь причем знак должен совпадать со знаком Вспомогательная величина определяется из приведенной таблицы в зависимости от знаков и суммы по формуле, расположенной в соответствующем столбце таблицы. Вычислив находят все три корня по формулам в том же столбце.

В качестве примера решим кубическое уравнение Имеем . Следовательно, а так как то следует воспользоваться третьим столбцом таблицы.

По формуле для вычисления определяем, что а из таблицы находим, что Пользуясь таблицами гиперболического синуса (см. стр 4. 179), получаем Следовательно,

Подставляя вычисленные значения в формулы для нахождения корней, получаем:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)