Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Соотношения между гиперболическими функциямиРазличные тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом известных соотношений. Аналогичные соотношения имеют место и для гиперболических функций. При этом основному тригонометрическому тождеству
в справедливости которого легко убедиться простой проверкой. Имеем:
Некоторые важные соотношения могут быть получены и из формулы (1):
Соотношения (2) и (3) получаются путем деления Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для тригонометрических функций, любую гиперболическую функцию аргумента х выразить через любую другую гиперболическую функцию того же аргумента. Ниже приводится соответствующая таблица для первых четырех функций:
Здесь имеет место очень простое правило знаков: Легко также вывести формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргумента, а также для сумм, разностей и произведений гиперболических функций. Эти формулы аналогичны соответветствующим тригонометрическим формулам. Приводим сводку этих формул.
(кликните для просмотра скана) Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим следующие выражения:
Теперь легко найти, что
Таким образом, формулы (9)-(12) проверены. Формулы (13) и (14) получаются путем деления обеих частей формул (9) и (10) на соответствующие части формул (11) и (12) с последующим преобразованием полученных правых частей к виду, содержащему только гиперболические тангенсы; для этого следует числители и знаменатели правых частей разделить на Формулы (15) и (16) получаются аналогичным образом путем деления обеих частей формул (11) и (12) на соответствующие части формул (9) и (10). Для вывода формул (17) — (20) следует положить Формулы (21) и (22) можно вывести, исходя из формул (18) и (1), заменяя в них х через
Вычитая и складывая, получим:
откуда вытекают формулы (21) и (22). Для получения формул (23) и (24) следует разделить обе части формулы (21) на соответствующие части формулы (22), и наоборот. Для вывода формул (25) и (26) выпишем формулы (9) и (10), заменив в них
Складывая и вычитая, получим:
В этих формулах положим Аналогичным образом поступим для вывода формул (27) и (28). Возьмем соотношения:
Складывая и вычитая, получим:
Полагая, как ранее, Формулы (29) получим путем преобразования выражений
Аналогично получаются формулы (30). Формулу (32) легко вывести путем сложения соответствующих частей формул (9) и (10), а формулы (31) и (33) — путем вычитания и сложения соответствующих частей формул (11) и (12). В дальнейшем будет показано, какие многочисленные применения находят гиперболические функции. Здесь же мы пока ограничимся приложением гиперболических функций к решению кубических уравнений. Если кубическое уравнение имеет так называемый приведенный вид:
то, как доказывается в курсе высшей алгебры, корни его можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических функций по следующей таблице:
Здесь В качестве примера решим кубическое уравнение По формуле для вычисления Подставляя вычисленные значения
Упражнения(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|