13. Некоторые прикладные задачи

Гиперболические функции встречаются при решении различных задач из механики, теплотехники, электротехники, химии и т. д. Рассмотрим некоторые из них.

Падение тела в воздухе.

Задача 1. Материальная точка массы падает в воздухе с начальной скоростью, равной нулю. Принимая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости, найти закон движения точки, т. е. пройденный ею путь как функцию времени

Решение. Из курса динамики известно, что где — ускорение точки, a F - равнодействующая сил, действующих на точку.

Выберем положительное направление на вертикальной прямой вниз, по линии действия силы тяжести. Тогда

где ускорение силы тяжести, а с — коэффициент пропорциональности

Так как — то дифференциальное уравнение движения точки примет вид

откуда, разделив на получим:

где положено

Попутно заметим, что так как то отсюда следует, что или Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных получим:

Неопределенный интеграл от оравой части уравнения вычисляем по формуле (с учетом того, что

Таким образом, мы приходим к общему интегралу

Используя начальное условие при находим и потому частное решение будет

Разрешив это уравнение относительно и, получим:

При возрастании аргумента гиперболический тангенс стремится к единице, поэтому с возрастанием времени скорость стремится к предельному значению

Для нахождения закона движения точки заменим в уравнении (1) скорость через получим:

откуда

Но при и потому Следовательно, закон движения падающей точки будет иметь вид

При достаточно больших значениях можно считать, что и мы получаем приближенную формулу

Выразим из уравнения через Для этого умножим обе части уравнения на и произведем потенцирование; получим:

Так как формулу (8) п. 3), то уравнение (4) можно записать и так:

Перед корнем взят знак плюс, потому что в противном случае при возрастании уменьшалось бы что противоречит смыслу задачи.

При больших значениях 5 можно в формуле (5) пренебречь единицей, стоящей под знаком радикала, и получить приближенную формулу

Можно получить еще соотношение между и V. Если принять во внимание, что

то исходное уравнение переходит в следующее:

Разделяя переменные, получим:

или после взятия квадратур

Используя начальное условие при находим поэтому

или, разрешая относительно

Выведенные формулы относятся к падению в воздухе материальной точки, но их можно рассматривать как приближенно верные и при падении тела. Однако в этом случае необходимо учесть сопротивление воздуха, зависящее от величины, формы и веса тела, а также от плотности воздуха. При этом определяется с помощью эмпирической формулы

где у — удельный вес (в среднем что соответствует весу воздуха при давлении 760 мм и температуре 15° С); — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, в вес тела в а — безразмерный, так называемый «коэффициент сопротивления», зависящий от формы тела и определяемый опытным путем; так, например, для горизонтально падающей квадратной пластинки для полусферы отверстием вниз (парашют)

Формула (7) вместе с предыдущими результатами позволяет решить такую задачу.

Задача 1а. Определить скорость, которую будет иметь через 2 сек после начала падения находящаяся до того в покое горизонтальная квадратная пластинка со стороной! и весом Предполагается, что при падении пластинка остается горизонтальной.

Решение. В данном случае

Подставляя эти значения, а такжё значение сек в формулу (1), находим:

Этот результат практически не отличается от предельной скорости которую вообще может достичь падающая пластинка. Таким образом, предельная скорость, развиваемая теоретически через бесконечно

большой промежуток времени, практически достигается уже в конце второй секунды после начала падения.