ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ

10. Интегрирование функций (гиперболические подстановки)

Как известно из курса интегрального исчисления, интеграл где — символ рациональной функции, может быть вычислен с помощью так называемых тригонометрических подстановок, т. е. путем замены аргумента х тригонометрической функцией новой переменной Однако тригонометрические подстановки иногда приводят к громоздким выкладкам, особенно тогда, когда вводится секанс или косеканс. В этом случае можно при интегрировании функций вида применять гиперболические подстановки. Ниже дается изложение этого способа.

Преобразуем сначала подкоренное выражение путем дополнения квадратичного трехчлена до полного квадрата:

где положено .

Если , то, обозначив и заметив, что приведем наш интеграл к виду:

Если то запишем и обозначим (знак минус перед невозможен при условии вещественности корня . Тогда

Итак, наш интеграл приводится к одному из следующих трех типов:

где — символ рациональной функции.

Интеграл подстановкой преобразуется к виду

и берется в конечном виде как интеграл рациональной функции от гиперболических синуса и косинуса (см. гл. I, п. 8).

Аналогичные результаты получаем для интегралов введя соответственно подстановки

(кликните для просмотра скана)

то можно записать:

Упражнения

(см. скан)