Задачи, связанные с цепной линией.

Задача 1. Гибкая однородная нерастяжимая проволока длины закреплена концами в двух точках, находящихся на одной высоте и отстоящих друг от друга на расстоянии

Под действием собственного веса она провисает. Найти уравнение линии провисания проволоки.

Решение. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось Ох была горизонтальна, а ось Оу проходила посредине между точками При таком выборе осей абсциссы последних будут соответственно I и

Рис. 24.

Из решения задачи о провисании нити (см. стр. 92) известно, что искомой кривой будет цепная линия Но там параметр а был известен ( где — горизонтальная проекция натяжения нити, вес единицы длины нити), здесь же вся задача сводится к определению параметра а, равного расстоянию от начала координат до вершины цепной линии (рис. 24).

По формуле для вычисления длины дуги кривой имеем:

Разлагая в степенной ряд (см: стр. 58), получим:

Положим и перепишем последнее равенство в виде

Произведем обращение этого ряда, т. е. выразим из него как функцию а. Тогда можно будет вычислить

Для этого составим ряд Маклорена для функции

В этом разложении что вытекает непосредственно из ряда для а. Из неотрицательности следует, что

Для производных функции имеем:

Отсюда можно найти положив

Итак, имеем:

и потому

Наша задача решена. Как было сказано выше, для нахождения а остается взять отношение

Если требуется определить величину т. е. расстояние от середины В хорды до вершины цепной линии („провес"), то берем разность

откуда после подстановки вместо его разложения в ряд получим:

Остается заменить а на

Подставляя вместо его выражение через и в виде ряда и пренебрегая членами порядка выше второго, будем иметь:

Так, если

Вычисление величины может понадобиться, например, при расчете провисания телеграфной проволоки.

Задача 2. Определить горизонтальное натяжение в любой точке цепи длиной подвешенной концами в двух точках, длина пролета между которыми равна , а разность высот

Рис. 25.

Вес единицы длины цепи

Решение. При решении этой задачи будем рассматривать цепь как гибкую нерастяжимую однородную нить. Выберем оси координат так, как указано на рис. 25. Тогда нижняя точка цепи и оба конца будут иметь координаты

По условию задачи

Так как точки лежат на цепной линии то их координаты удовлетворяют уравнению линии, поэтому

и, следовательно,

Длина дуги цепной линии от точки точки вычисляется по формуле

Сократим каждое из последних равенств на 2, возведем в квадрат обе части каждого из них и составим разность

Выражение, заключенное в скобки, равно единице. Поэтому

Это равенство можно переписать в виде .

Если заданы то можно найти , а зная можно определить горизонтальное натяжение Н. Произведем численный расчет для следующих данных: а вес одного метра цепи равен

Подставляя эти данные в правую часть последней формулы, получим:

Остается решить уравнение

Разложение гиперболического синуса в ряд по стерням (формула имеет вид:

Возьмем первые три члена и подставим в уравнение получим:

или

Решение этого биквадратного уравнения дает (знак минус перед корнем в формуле отброшен, ибо существенно положительная величина), откуда

Так как то В свою очередь отсюда

Задача 3. В различных точках гибкой нити подвешены стержни с одинаковыми поперечными сечениями, но различной длины. Нижние концы этих стержней расположены на горизонтальной прямой. Допуская что благодаря частому расположению стержней нагрузку можно считать распределенной непрерывно, найти форму равновесия нити.

Решение. Элемент нити находится, как и в задаче, разобранной на стр. 92, под действием сил натяжения Т и в точках М и направленных по касательным в этих точках, и под действием нагрузки направленной вертикально вниз. Разлагая силы Т и на горизонтальные и вертикальные составляющие и проектируя все действующие на элемент силы на оси Ох и , получим откуда

Так как где — угол наклона касательной к оси то откуда и Нагрузка пропорциональна площади элементарной криволинейной трапеции т. е. равна Следовательно, или где положено

Рис. 26.

Это уравнение рассмотрено в примере Его общее решение

Для нахождения произвольных постоянных предположим, что низшая точка нити , т. е. что и при Так как

то при подстановке вместо их значений при получим , следовательно,

Рассмотрим два шкива с приводным ремнем (рис. 26). Если предположить, что шкивы находятся в покое, то решение задачи о провисании нити (см. стр. 92) показывает,

что приводной ремень располагается по цепной линии. Предположим теперь, что любая точка ремня движется равномерно со скоростью Заранее не очевидно, что и в этом случае приводной ремень будет провисать по цепной линии. Однако это так, и мы в этом убедимся из решения следующей задачи.

Задача 4. Шкивы А и В вращаются так, что любая точка приводного ремня движется с одной и той же постоянной линейной скоростью Найти уравнение линии провисания ремня; вес погонного метра ремня равен

Решение. Выделим бесконечно малый элемент ремня На этот элемент, как и в задаче 1, действуют силы натяжения и вес. Если мы к этим силам присоединим фиктивную центробежную силу инерции, направленную по нормали к элементу, то, согласно принципу Даламбера, получим уравновешенную систему сил, для которых вместо уравнения движения можно рассматривать уравнения равновесия.

Центробежная сила, действуя по нормали к элементу в точке М, составляет с осями координат углы — и ( — угол между касательной в точке М и осью

Величина этой силы равна где — масса элемента ремня длины — его скорость; радиус кривизны траектории, которую мы предполагаем совпадающей с линией провисания ремня.

Так как то величина центробежной силы инерций выразится через а ее проекции на оси Ох и у соответственно через

Напишем уравнения равновесия:

Интегрируя первое уравнение, будем иметь равенство

где К — постоянная интегрирования.

Если задать низшую точку провисающего ремня, в которой горизонтальное натяжение равно , то, положив найдем, что

Второе уравнение перепишем так:

Умножив обе части равенства на получим:

но так как

Вследствие этого второе уравнение примет вид или ,

где положено Его общее решение (см. пример 11 п. 11) представляет собой семейство цепных линий.

Задача 5. Найти кривую, зная, что длина ее дуги от неподвижной точки , касательная в которой параллельна оси до переменной точки связана с радиусом кривизны в точке М соотношением где (задано нормальное уравнение кривой).

Решение. Так как радиус кривизны в любой точке кривой, по определению, есть производная дуги кривой 5 по углу образованному касательной к кривой с осью данное в условии задачи соотношение переходит в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные, получим:

откуда, беря квадратуры, будем иметь:

Определим С. Для этого заметим, что при длина дуги кривой и угол что вытекает из начального условия Следовательно, и полученный интеграл переходит в равенство

или

Дифференцируя по х, получим уравнение

Его общее решение (см. пример 11 п. 11)

Для определения произвольных постоянных используем начальные условия: при Продифференцируем полученное решение; будем иметь:

Подстановка начальных условий в это равенство приводит к уравнению относительно

откуда

Подставляя начальные условия и в общее решение, получим:

откуда

Итак, окончательно уравнение искомой кривой примет вид «стандартного» уравнения цепной линии

Если бы начальные условия были заданы в более общем виде:

то частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее этим начальным условиям, можно получить из общего решения следующим образом.

Найдя у из общего решения и подставив вместо числа получим уравнение для определения

откуда

Подстановка начальных условий и вычисленного значения в общее решение приводит к уравнению относительно

откуда .

Следовательно, окончательно получаем частное решение в виде

Задача 6. Найти кривую, зная, что радиус кривизны в любой ее точке равен длине отрезка нормали в этой точке.

Решение. Длина отрезка нормали, как известно, равна а радиус кривизны равен Приравнивая друг другу эти выражения, составляем

дифференциальное уравнение

или после сокращения на и умножения обеих частей на

Здесь следует рассмотреть два случая: когда 31 и одинакового знака (что при положительном у соответствует вогнутости кривой вверх) и когда у и у” имеют разные знаки. В первом случае наше уравнение записываем так:

Его общее решение (см. пример

представляет собой семейство цепных линий.

Во втором случае наше уравнение запишем так:

Интегрирование этого уравнения проведем методом понижения порядка уравнения. Положим тогда и наше уравнение переходив в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

После разделения переменных и взятия квадратур получим:

Потенцирование дает

откуда

Заменив через разделив переменные и взяв квадратуры, будем иметь:

откуда после возведения в квадрат получим в качестве решения семейство окружностей с центрами на оси

Задача 7. Полюс, относительно которого дано уравнение кривой

неразрывно связан с этой кривой. Найти геометрическое место точек, которое опишет полюс (рулету), когда кривая будет катиться без скольжения по оси

Решение. В нашем случае откуда Уравнение неподвижной линии Поэтому первое и третье из уравнений системы (стр. 111) примут вид

Из первого из этих уравнений находим и подставляем во второе уравнение; получим:

или

откуда

и, следовательно,

В частности, при уравнение подвижной кривой представляет собой параболу. Дифференциальное уравнение рулеты или Его общий интеграл (см. пример 10 п. 11) - семейство цепных линий При дифференциальное уравнение рулеты определяет семейство циклоид При уравнение подвижной кривой представляет собой равностороннюю гиперболу. Дифференциальное уравнение рулеты будет откуда Полученный интеграл в конечном виде не берется.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)