Размножение бактерий.

Задача 20. Предполагая, что бактерии размножаются пропорционально их наличному количеству, но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их пропорционально количеству яда и количеству бактерий, причем скорость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий, показать, что число бактерий сначала возрастает до некоторого наибольшего значения М, а затем убывает до нуля и в момент времени определяется формулой

где время измеряется от того момента, когда

Решение. Обозначим количество яда через х несогласно условию задачи, составим систему дифференциальных уравнений

Здесь - соответственно скорость размножения бактерий и скорость выработки яда, — коэффициенты пропорциональности.

Разделив обе части первого уравнения системы (20) на соответствующие части второго, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

откуда

Так как при то и таким образом, связь между числом бактерий и количеством яда устанавливается формулой

где положено

График функции представляет собой параболу, проходящую через начало координат и через точку осью симметрии, параллельной оси и с вершиной в точке

Следовательно,

Найдем теперь зависимость количества бактерий от времени Для этого преобразуем равенство (21) к виду

и разрешим его относительно получим:

Это выражение х через подставим в первое из уравнений (20); будем иметь:

Принимая во внимание соотношения (22) и (23), замечаем что первые два члена в правой части взаимно уничтожаются.

а последний равен Поэтому уравнение (24) запишется так:

а это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных оно приводится к виду

Интеграл вычислим с помощью подстановки из которой следует, что Поэтому так как и следовательно,

Таким образом, общий интеграл уравнения (25) будет

Произвольную постоянную определим из начального условия при которое дает , значит, Частный интеграл уравнения (25) будет

или

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат и разрешим его относительно Получим:

или

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)