Цепная линия как рулета.

Если в плоскости кривая катится по неподвижной кривой то траектория точки М, связанной с называется рулетой (рис. 20).

Рис. 20.

Имеет место следующая принадлежащая Декарту теорема, которую мы примем без доказательства: нормаль в любой точке М рулеты проходит через точку касания кривых и В.

Выведем уравнение рулеты. Пусть — уравнение неподвижной кривой — искомое уравнение

рулеты как геометрического места точек М. Обозначим через угол, образованный касательной к рулете с осью тогда Соединим точку М с точкой А, взятой на подвижной кривой и обозначим через угол Тогда 0 и будут полярными координатами точки подвижной кривой, уравнение которой, следовательно, будет Приняв во внимание теорему Декарта, получим для координат точки М следующие формулы:

Заменяя в этих формулах у через через получим:

Обозначим через угол Имеем

и

Таким образом, мы получили:

Если даны две кривые, то можно определить третью с помощью этих уравнений.

Определим для примера кривую, которую опишет фокус параболы, катящейся по прямой. Рассмотрим случай, когда при начальном положении ось параболы перпендикулярна к оси т. е. когда фокус имеет наинизшее положение. Уравнение параболы возьмем в полярных координатах где — расстояние от фокуса до вершины параболы. Следовательно, Уравнение неподвижной линии Следовательно, Первое из уравнений системы поэтому принимает вид

Приняв это во внимание, запишем третье из уравнений системы в виде

или

откуда

Общее решение этого уравнения (см. пример 10 п. 11) - семейство цепных линий заменили X, Y через

- Для определения С заметим, что в начальный момент фокус имел координаты Отсюда следует, что и потому решением является цепная линия