Минимальные свойства цепной линии.

Катеноид обладает замечательным свойством. Если поставить такую задачу: среди линий, соединяющих две данные точки плоскости найти ту, дуга которой при вращении вокруг оси Ох образует поверхность с наименьшей площадью, — то, как мы сейчас увидим, такой линией окажется цепная линия.

Площадь поверхности вращения вычисляется по известной формуле

Наша задача заключается в том, чтобы найти проходящую через точки кривую, дуга которой при вращении вокруг оси Ох образовала бы поверхность с наименьшей площадью Допустим, что мы такую кривую нашли, пусть ее уравнение Если взять любую другую кривую проходящую через те же две точки, вследствие чего то для достаточно малого а интеграл

будет большеинтеграла

Следовательно, функция достигает минимума при Но тогда для функции в точке должно быть выполнено необходимое условие экстремума причем это условие должно выполняться для всякой рассматриваемой функции Продифференцируем функцию по а, положим в производной и приравняем ее нулю. Имеем:

Преобразуем вторую часть последнего интеграла, пользуясь формулой интегрирования по частям:

Так как то первое слагаемое обращается в нуль, и мы получаем равенство

Этот интеграл должен обращаться в нуль для всякой рассматриваемой функции а это возможно только, когда множитель при в подынтегральной функции

равен нулю, т. е. когда

Раскроем второе слагаемое. Имеем:

Последнее уравнение при этом примет вид

или

и окончательно

Это дифференциальное уравнение рассмотрено в примере 8 п. 11. Его общее решение

представляет собой семейство цепных линий.

Итак, установлено, что экстремум площади поверхности вращения может достигаться только в случае, когда кривой является цепная линия. Можно доказать, что в этом случае действительно имеет место экстремум, и притом минимум, но доказательство мы опускаем.

Цепная линия обладает еще одним минимальным свойством: центр тяжести дуги плоской кривой заданной длины, закрепленной в двух точках своими концами, занимает наинизшее положение именно тогда, когда кривая — цепная линияг. В этом можно убедиться из следующих соображений. Как известно, ордината центра тяжести дуги плоской кривой вычисляется по формуле

По условию, где Следовательно, задача сводится к отысканию вида кривой, для которой интеграл принимает наименьшее значение, а эта задача была решена выше, при рассмотрении вопроса о наименьщей площади поверхности вращения, и было показано, что такой кривой является цепная линия.

Заметим, наконец, что при равновесии системы материальных точек потенциальная энергия системы достигает минимума, поэтому тяжелая однородная гибкая нерастяжимая нить, закрепленная в двух точках, будет провисать по цепной линии, так как минимуму потенциальной энергии соответствует наинизшее положение центра тяжести.

Рассмотрим ряд задач, решение которых приводит к цепной линии или которые связаны с цепной линией.