3. Обратные гиперболические функции

Если то, желая выразить зависимость у от х, обозначают у символом (читается «ареасинус гиперболический») или, более подробно, у есть площадь, гиперболический синус которой равен — латинское слово, означающее в переводе площадь). Подобным же образом определяются и другие обратные гиперболические функции, а именно:

Графики обратных гиперболических функций с их краткими описаниями приводятся ниже.

Ареасинус (рис. 7). Функция нечетная, область определения — монотонно возрастает от до . В начале координат — точка перегиба и центр симметрии графика. Угол образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен Асимптот не имеет.

Ареакосинус (рис. 8). Функция двузначная, область определения каждой ветви График симметричен относительно оси в точке А (1,0)

имеется вертикальная касательная при возрастании по абсолютной величине возрастает.

Ареатангенс (рис. 9). Функция нечетная, область определения — монотонно возрастает от до

Рис. 7.

Рис. 8.

В начале координат — точка перегиба и центр симметрии графика. Угол образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен Вертикальные асимптоты .

Ареакотангенс (рис. 10). Функция нечетная, область определения

Рис. 9.

Рис. 10.

При убывает от 0 до при убывает от до 0. Экстремумов и точек перегиба нет. Имеются горизонтальная асимптота и вертикальные асимптоты

Любую из обратных гиперболических функций можно выразить через остальные функции. Приведем соответствующую таблицу.

Следует иметь в виду, что при выражении функций через ареакосинус последний надо брать со знаком плюс при и со знаком минус при Это объясняется двузначностью ареакосинуса и нечетностью остальных функций, которые при положительны, а при отрицательны. Выражения же самого ареакосинуса через остальные функции (вторая строка) надо брать с двумя знаками, что также объясняется его двузначностью.

Легко убедиться в справедливости приведенных в таблице соотношений. Для примера выразим через остальные функции. Пусть тогда , следовательно, откуда

Аналогично проверяются и остальные соотношения. Суммы и разности обратных гиперболических функций выражаются следующим образом:

Проверим формулу (1). Для этого обозначим: тогда преобразуем выражение откуда Аналогично проверяются остальные формулы.

Подобно тому как гиперболические функции выражаются через показательные, обратные гиперболические функции могут быть выражены через функции, обратные показательным, т. е. через логарифмические.

В самом деле, если, например, то отсюда следует, что а так как то или Рассматривая это равенство как квадратное уравнение относительно неизвестного находим (знак минус перед корнем в действительной области невозможен, ибо при действительных значениях х величина всегда положительна). Следовательно, а так как то

Аналогичным образом получаем следующие формулы:

Для вывода формулы (8) исходим из того, что если откуда минус здесь необходимо сохранить, так как правая часть будет положительной и в этом случае). Логарифмируя последнее равенство, получим формулу (8).

Заметим, что формуле (8) можно придать несколько иной вид, а именно:

Для этого достаточно показать, что Но в этом легко убедиться с помощью следующего преобразования:

Если взять то откуда или следовательно,

Наконец, если взять то откуда или и, следовательно, Приведенные формулы позволяют выяснить вопрос об области определения обратных гиперболических функций. Из формулы (7) следует, что существует при любом действительном х, так как как при положительном, так и при отрицательном х. Формула (8) показывает, что существует только при так как имеет действительные значения при но х

не может быть отрицательным, ибо тогда тоже становится отрицательной величиной, а значит, не может быть действительным. Из формулы (9) вытекает, что существует при так как для того, чтобы эта функция имела действительные значения, необходимо выполнение неравенства а это возможно для положительных х только при а для отрицательных х только при

Аналогично предыдущему можно установить, что существует только при

Упражнения

(см. скан)