8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных стационарных систем

Замечательная особенность линейных систем — справедливость принципа суперпозиции — открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического представления (см. гл. 1) позволяет представлять сигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удастся тем или иным способом иайти реакцию на выходе, возникающую под воздействием элементарного импульса на входе, то окончательным этапом решения задачи явится суммирование таких реакций.

Намеченный путь анализа основан на временном представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преобразования элементарных гармонических сигналов.

Импульсная характеристика.

Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы называется функция являющаяся откликом системы на входной сигнал Это означает, что функция h(t) удовлетворяет уравнению

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину :

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.

Интеграл Дюамеля.

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, в гл. 1 было показано, что входной сигнал всегда допускает представление вида

Отвечающая ему выходная реакция

Теперь примем во внимание, что интеграл есть предельное значение суммы, поэтому линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования х. Поэтому из выражения (8.7) следует, что

или окончательно

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (8.8) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (8.8) может быть записана также в виде

Итак, если импульсная характеристика h(t) известна, то дальнейшие этапы решения сводятся к полностью формализованным операциям.

Пример 8.4. Некоторая линейная стационарная система, внутреннее устройство которой несущественно, имеет импульсную характеристику, представляющую собой прямоугольный видеоимпульс длительностью Т. Импульс возникает при t = 0 и обладает амплитудой

Определить выходную реакцию данной системы при подаче на вход ступенчатого сигнала

Применяя формулу интеграла Дюамеля (8.8), следует обратить внимание на то, что выходной сигнал будет выглядеть по-разному в зависимости от того, превышает или нет текущее значение длительность импульсной характеристики. При имеем

Если же то при функция обращается в нуль, поэтому

Найденная выходная реакция отображается кусочно-лннейным графиком.

Обобщение на многомерный случай.

До сих пор предполагалось, что как входной, так и выходной сигналы одномерны. В более общем случае системы с входами и выходами следует ввести парциальные импульсные характеристики каждая из которых отображает сигнал на выходе при подаче на вход дельта-функции.

Совокупность функций образует матрицу импульсных характеристик

Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид

где — -мерный вектор; — -мерный вектор.

Условие физической реализуемости.

Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе.

Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик:

Такому условию удовлетворяет, например, имупльсная характеристика системы, рассмотренной в примере 8.4.

Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени:

Формула (8.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом» при — Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика системы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала.

Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости

Переходная характеристика.

Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый функцией Хевисайда .

Выходную реакцию

принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига:

Высказанные ранее соображения о физической реализуемости системы полностью переносятся на случай, когда система возбуждается не дельта-функцией, а единичным скачком. Поэтому переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при в то время как при t < 0.

Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Действительно, так как то на основании (8.5)

Оператор дифференцирования и линейный стационарный оператор Т могут меняться местами, поэтому

или

Воспользовавшись формулой динамического представления (1.4) и поступая так же, как и при выводе соотношения (8.8), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля:

Частотный коэффициент передачи.

При математическом исследовании систем особый интерес представляют такие входные сигналы, которые, будучи преобразованы системой, остаются неизменными по форме. Если имеется равенство

(8.19)

то является собственной функцией системного оператора Т, а число X, в общем случае комплексное, — его собственным значением.

Покажем, что комплексный сигнал при любом значении частоты есть собственная функция линейного стационарного оператора. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (8.9) и вычислим

Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является комплексное число

(8.21)

называемое частотным коэффициентом передачи системы.

Формула (8.21) устанавливает принципиально важный факт — частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию можно определить импульсную характеристику

Мы подошли к важнейшему положению теории линейных стационарных систем — любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной или переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи. Оба подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.

В заключение отметим, что частотные свойства линейной системы, имеющей входов и выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи

Между матрицами существует закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (8.21), (8.22).

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Функция имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой и комплексной амплитудой то комплексная амплитуда выходного сигнала

Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме:

Обе входящие сюда вещественные функции носят специальные названия: — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), — фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.

Ограничения, накладываемые на частотный коэффициент передачи.

Далеко не каждая функция может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика такой системы обязана быть вещественной. В силу свойств преобразования Фурье (см. гл. 2) это означает, что

В соответствии с формулой (8.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) — нечетная функция частоты.

Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнялись условия физической реализуемости (8.12) и (8.14). Приведем без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли — Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл

Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий свойства частотного коэффициента передачи линейной системы.

Пример 8.5. Некоторая линейная стационарная система имеет свойства идеального ФНЧ, т. е. ее частотный коэффициент передачи задается системой равенств:

Да основании выражения (8.20) импульсная характеристика такого фильтра

Симметрия графика этой функции относительно точки t = 0 свидетельствует о нереализуемости идеального фильтра нижних частот. Впрочем, этот вывод непосредственно вытекает из критерия Пэли — Винера. Действительно, интеграл (8.27) расходится для любой АЧХ, которая обращается в нуль на некотором конечном отрезке оси частот.

Несмотря на нереализуемость идеального ФНЧ, эту модель с успехом используют для приближенного описания свойств частотных фильтров, полагая, что функция содержит фазовый множитель, линейно зависящий от частоты:

Как нетрудно проверить, здесь импульсная характеристика

Параметр равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задержку во времени максимума функции h(t). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение