4.3. Белый шум

Определение 4.3. Скалярный случайный процесс называют белым шумом, если он является стационарным (в широком смысле) и обладает постоянной спектральной плотностью с, называемой интенсивностью белого шума.

Рассмотрим свойства белого шума.

Свойство 4.3. Ковариационная функция для белого шума имеет вид

Если скалярный случайный процесс является белым шумом, то для любого действительного

(4-13)

Таким образом, из свойств спектральной плотности и интегрального представления -функции Дирака (4.11) следует (4.12).

Свойство 4.4. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса имеет вид (4.12), то этот случайный процесс является белым шумом.

Это свойство непосредственно следует из определения 4.2 и равенства (4.12).

Пример 4.4. Пусть — скалярный винеровский процесс с коэффициентом диффузии Он имеет ковариационную функцию

Таким образом,

и смешанная вторая производная не существует, т.е. (см. теорему 3.7) рассматриваемый случайный процесс недифференцируем ни в одной точке в Т. Но переходя к обобщенным функциям, к которым относится и (У-функция Дирака, формально получаем

т.е. в классе обобщенных функций производная винеровского процесса есть белый шум с интенсивностью

Свойство 4.5. Случайные величины, являющиеся сечениями белого шума, некоррелированы.

Это следует из (4.12), так как для любых , имеем

Свойство 4.6. Белый шум обладает бесконечной дисперсией.

Это вытекает из равенства

выполняющегося в силу (4.12).

Появление термина „белый шум“ объясняется следующим. Слово белый указывает на сходство с белым светом, у которого спектральный состав примерно однороден, а слово шум говорит о том, что подобные процессы впервые привлекли к себе внимание в радиотехнике, где их наличие приводит к возникновению шумов в линиях радиопередач.

Белый шум обладает бесконечной дисперсией и практически не может быть реализован. Но из физических соображений ясно, что любая динамическая система является инерционной и очень высокие частоты не могут оказывать значимого влияния на ее поведение. Это открывает возможность моделирования с помощью белого шума реальных случайных процессов. Например, белый шум часто используют для моделирования случайных процессов, имеющих постоянную (или почти постоянную) спектральную плотность в определенной полосе частот, пренебрегая поведением спектральной плотности вне этой полосы. Подобные ситуации возникают при изучении многих физических явлений, связанных с воздействием отдельных молекул или электронов на макроскопические системы (например, во всех явлениях, родственных броуновскому движению).

Подобные случайные процессы мы также будем называть „белым шумом", отмечая кавычками условность такого подхода.

Пример 4.5. Пусть скалярный случайный процесс является стационарным и его спектральная плотность равна

Рассматриваемый случайный процесс имеет ковариационную функцию

Чтобы он обладал свойствами „белого шума", значение параметра N должно быть достаточно большим, но в этом случае достаточно большой будет и дисперсия

А так как

то можно получить сколь угодно малое абсолютное значение коэффициента корреляции для любых двух сечений и при достаточно большом значении . При фиксированном значении N абсолютное значение коэффициента корреляции сечений значимо, когда величина достаточно мала.

Чтобы найти предел ковариационной функции (4.14) при введем функцию

Так как

то нетрудно убедиться, что существует предел

Формально дифференцируя полученную функцию, приходим к -функции Дирака:

Рассмотренный случайный процесс является одной из возможных моделей «белого шума».

Помимо ограниченного в некоторой полосе частот (см. пример 4.5), часто используют скалярный случайный процесс (см. пример 4.3) с ковариационной функцией

и спектральной плотностью

В этом случае

Некоррелированность случайных величин, являющихся сечениями белого шума в различные моменты времени — одна из основных причин его широкого применения.

При использовании ограниченного по полосе шума мы все же получаем значимое абсолютное значение коэффициента корреляции для случайных величин, являющихся сечениями случайного процесса при близких значениях , что зачастую существенно затрудняет анализ полученных результатов. Использование белого шума в теории случайных процессов во многом аналогично использованию функции Дирака в теории линейных систем и математической физике.