2.2. Спектр мощности, амплитудный и фазовый спектры

Спектр мощности и амплитудный спектр. На рис. 2.2 показано периодическое продолжение исходного сигнала . Предположим, что сместили вправо на величину . Тогда получим

сигнал, обозначенный на рис. 2.2, . Согласно выражению (2.1.13) имеем

Рис. 2.2. Периодическое продолжение сигналов и

Откуда

где

Из (2.2.3) следует, что

для всех .

Введем понятие Фурье-спектра мощности

где — мощность спектральной составляющей. Из приведенных рассуждений очевидно и это, в частности, подтверждается выражениями (2.2.4) и (2.2.5), что спектр мощности обладает следующими свойствами:

инвариантен величине временного сдвига, т;

неотрицателен;

четная функция .

соответствии с понятием спектра мощности с помощью выражения (2.2.5) определим амплитудный Фурье-спектр как

где — неотрицательный корень квадратный из значения спектра мощности .

Фазовый сдвиг. Фазовый Фурье-спектр периодического сигнала определяется из следующего выражения:

где символами и соответственно обозначены мнимая и действительная части величины, заключенной в квадратные скобки. Если умножить на действительную постоянную величину , то разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

(2.2.7)

Из выражений (2.2.3) и (2.2.7) следует, что фазовый Фурье-спектр обладает следующими свойствами:

i) является функцией , т. е. в отличие от спектра мощности, который не зависит от , изменяется при сдвиге сигнала вдоль оси времени;

не зависит от К, т. е. инвариантен к усилению или ослаблению сигнала, в то время как спектр мощности является функцией К.

(см. задачу 2.4), т. е. является нечетной, функцией .

Примечание. С учетом геометрической интерпретации показанной на рис. 2.1, и приведенных выше рассуждений, можно выразить через спектр мощности и фазовый спектр следующим образом:

(2.2.8)

или

где и .

Поскольку

то из (2.2.8) и (2.2.9) следует, что может быть восстановлен однозначно, если известны амплитудный (или спектр мощности) и фазовый спектры. Рассмотрим простой пример.

Пример 2.2.1. Рассмотрим сигнал заданный следующим образом:

Пусть является периодическим продолжением с периодом Т (рис. 2.3).

Рис. 2.3. -периодическое продолжение

а) Запишем разложение сигнала в комплексный ряд Фурье

где

б) Построим амплитудный и фазовый Фурье-спектры.

Решение. а) Согласно выражению (2.2.11) имеем

(2.2.12)

б) Графики, соответствующие амплитудному и фазовому спектрам, полученным из (2.2.9), показаны на рис. 2.4а и б соответственно.

Рис. 2.4. Спектры Фурье для сигнала , показанного на рис. 2.3 а — амплитудный: б — фазовый

Относительно приведенных выше графиков следует сделать несколько замечаний:

1) интервалы между последовательными на рис. 2.4 равны основной угловой частоте ;

2) фазовый спектр принимает только три значения: 0, или . Это следует из выражения (2.2.9):