Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

В настоящей главе будет всесторонне изучаться важнейшее понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.

В дополнении 2 к гл. 12 понятие непрерывности будет введено в общей ситуации, когда задано отображение одного метрического пространства в другое.

§ 1. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ

1. Определение непрерывности функции.

Пусть точка а принадлежит области задания функции и любая -окрестность точки а содержит отличные от а точки области задания функции

Формальное определение непрерывности в. точке а. Функция называется непрерывной в точке а, если функция имеет в точке а предел и этот предел равен, частному значению функции в точке а.

Используя определения предела функции в точке а по Гейне и по Коши, мы приходим к определению непрерывности функции в данной точке а по Гейне и по Коши.

Определение 1 (непрерывность в точке а по? Гейне). Функция называется непрерывной в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Замечание 1. По сравнению с определением 1 предела функции по Гейне (см. п. 2 § 4, гл. 3) в определении непрерывности по Гейне мы опустили требование, обязывающее все элементы последовательности быть отличными от а. Это можно сделать в силу того, что добавление к элементам последовательности сходящейся к числу любого числа новых элементов, равных не нарушит сходимости этой последовательности, к

Определение 1 (непрерывность в точке а по Коши). Функция называется непрерывной в точке а, если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Замечание 2. По сравнению с определением 1 предела функции по Коши (см. п. 2 § 4, гл. 3) в определении непрерывности по Коши мы опустили требование, обязывающее все значения аргумента х удовлетворять неравенству т. е. быть отличными от а. Это можно сделать в силу того, что для значений разность равна нулю и удовлетворяет неравенству при любом

Условие непрерывности функции в точке а символически можно выразить следующим равенством:

Так как то этому равенству можно придать следующую форму:

Следовательно, для непрерывной в точке а функции символ предельного перехода и еимвол характеристики функции можно менять местами.

Из теоремы об эквивалентности определений предельного значения по Гейне и по Коши (см. теорему 3.19 из п. 2 § 4 гл. 3) «следует, что определения непрерывности функции по Гейне и по Коши (определения 1 и 1 эквивалентны.

Сформулируем теперь определение односторонней непрерывности функции в точке а, т. е. непрерывности в точке а либо только справа, либо только слева.

От множества задания функции мы на этот раз должны потребовать, чтобы это множество включало точку а и для любого имело хотя бы один элемент, лежащий на интервале [соответственно ].

Формальное определение непрерывности в точке а справа [слева]. Функция называется в ной в точке а справа [слева], если правый [левый] предел этой функции в точке а существует и равен частному значению функции в точке а.

Используя определения правого [левого] предела функции в точке а по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции в точке а справа [слева] по Гейне и Коши.

Определение 2 (непрерывность функции в точке а справа [слева] по Гейне). Функция называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента все элементы которой удовлетворяют условию соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Заметим, что в этом определении условие можно заменить менее жестким условием ибо добавление к последовательности сходящейся к какого угодно числа новых элементов, равных не нарушит сходимости этой последовательности к

В применениях более эффективно условие

Определение 2 (непрерывность функции в точке а справа [слева] по Коши). Функция называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Заметим, что и в этом определении условие можно было бы заменить менее жестким условием

Эквивалентность определений 2 и 2 вытекает из эквивалентности соответствующих определений предела функции.

Тот факт, что функция непрерывна в точке а справа [слева], записывают так:

Замечание 3. Если функция непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрерывна в этой точке. Действительно, в силу утверждения, доказанного в п. 2 § 4 гл. 3, в этом случае существует предел функции в точке а, равный

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Рассмотрим примеры.

1) Степенная функция , где — натуральное число, непрерывна в каждой точке а бесконечной прямой

Действительно, в гл. 3 было установлено, что предельное значение этой функции в любой точке а бесконечной прямой равно частному значению

2) Многочлены и рациональные дроби имеют в каждой точке области задания предельное значение, равное частному значению (см. п. 3 § 4 гл. 3). Поэтому они являются непрерывными функциями в каждой точке области задания.

3) Функция имеет разрыв в точке и непрерывна во всех остальных точках числовой оси. Действительно, в точке как было показано в гл. 3, существуют правый (равный и левый (равный —1) пределы функции Поскольку эти односторонние пределы не равны друг другу, функция в точке 0 разрывна (не является непрерывной). В остальных точках оси она обладает предельным значением, равным частному значению, и непрерывна.

4) Функция Дирихле (см. § 4 гл. 3) разрывна в каждой точке числовой оси, поскольку она не имеет предельного значения ни в одной точке.

Заметим, однако, что функция где — функция Дирихле, является непрерывной в точке и разрывной во всех остальных точках бесконечной прямой. Разрывность в любой точке устанавливается точно -так же, как для функции (для любой сходящейся к последовательности рациональных точек соответствующая последовательность сходится к числу а для любой сходящейся к последовательности иррациональных точек соответствующая последовательность сходится к нулю).

Убедимся в том, что функция непрерывна в точке Для любой бесконечно малой последовательности значений аргумента последовательность ограничена, а потому (в силу теоремы 3.3 из гл. 3) последовательность является бесконечно малой, т. е. имеет предел нуль, равный частному значению

Мы будем говорить, что функция непрерывна на множестве если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Например, функция, непрерывная в каждой точке интервала» называется непрерывной на интервале.

Особо договоримся называть функцию непрерывной на сегменте [а, Ь], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке

Выше, давая определение непрерывности функции в точке а, мы предположили, что точка а обладает тем свойством, что в любой ее -окрестности содержатся точки области задания, отличные от а. Формально этого предположения можно бы было и не делать и допустить, что точка а обладает е-окрестностью, свободной от точек области задания функции, а в самой точке а функция определена. В этом случае формально функцию можно считать непрерывной в точке а. Однако вся содержательная часть понятия непрерывности функции относится как раз

к случаю, когда а — предельная точка области определения функции.

Определение непрерывности функции можно дать и в следующей, эквивалентной форме.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке а, если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки а, что образ всех точек множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки при отображении, осуществляемом функцией целиком лежит в указанной окрестности точки

В дополнении 2 к гл. 12 будет показано (даже в более общей ситуации), что последнее определение непрерывности эквивалентно предыдущим. Предлагается в качестве упражнения проверить это.

Используя введенное в § 5 гл. 3 общее определение предела функции по базе В множества ее задания, мы можем объединить в одной формулировке понятие непрерывности в точке а, в точке а справа и в точке а слева.

Пусть функция задана на множестве которое включает точку а и допускает базу В одного из видов

Функция называется непрерывной в точке а, если ее предел по базе В множества ее задания существует и равен