§ 32. Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассматриваем его как дискретную систему материальных точек и пишем:

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул,

Подставив сюда (31,2), получим:

Скорости V и одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене выносится за знак суммы, а сумма есть масса тела, которую мы будем обозначать посредством Во втором члене пишем:

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как тогда Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим:

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32,1) есть кинетическая энергия поступательного движения — она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Q вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т. е. через компоненты ; векторов .

Имеем:

Здесь использовано тождество где — единичный тензор (компоненты которого равны единице при и нулю при ). Введя тензор

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

Функция Лагранжа твердого тела получается из (32,3) вычитанием потенциальной энергии

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, У, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения (32,2) он симметричен, т. е.

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

Компоненты иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей.

Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей.

Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (32,2) сумма заменяется интегралом по объему тела:

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем со ответствующего выбора направлений осей . Эти направления называют главными осями инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными моментами инерции, обозначим их как . При таком выборе осей вращательная кинетическая энергия выражается особенно просто:

Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так,

Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называют асимметрическим волчком.

Если два главных момента инерции равны друг другу, то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости произволен.

Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции: в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси.

Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что положение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией.

Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости , то поскольку для всех частиц имеем:

так что

(32,10)

Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом, если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком.

Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180°, т. е. выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка.

Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси , то для всех частиц , и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю:

(32,11)

Такую систему называют ротатором. Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей говорить же о пращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла.

Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (32,3)), но для его вычисления может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор

определенный по отношению к другому началу О. Если расстояние ОО дается вектором а, то учитывая также, что по определению точки О, найдем:

(32,12)

По этой формуле, зная легко вычислить искомый тензор .

Задачи

1. Определить главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга, в следующих случаях:

а) Молекулы из атомов, расположенных на одной прямой.

Ответ:

где — массы атомов, — расстояние между атомами а и суммирование производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений а, b входиг в сумму по одному разу).

Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члену, давая заранее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними:

б) Трехатомная молекула в виде равнобедренного треугольника (рис. 36). Ответ: Центр инерции лежит на высоте треугольника на расстоянии от его основания. Моменты инерции:

в) Четырехатомная молекула с атомами, расположенными в вершинах правильной трехугольной пирамиды (рис. 37).

Рис. 36

Рис. 37

Ответ: Центр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоян от ее основания. Моменты инерции:

При мы получаем тетраэдрическую молекулу с моментами инерции

2. Определить главные моменты инерции сплошных однородных тел.

а) Тонкий стержень длиной l.

Ответ: (толщиной стержня пренебрегаем).

б) Шар радиуса R.

Ответ:

(вычислять следует сумму ).

в) Круговой цилиндр радиуса R и высотой

Ответ:

( — ось цилиндра).

г) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, Ь, с.

Ответ:

( параллельны ребрам а, Ь, с).

д) Круговой конус с высотой h и радиусом основания R.

Решение. Вычисляем сначала тензор по отношению к осям с началом в вершине конуса (рис. 38). Вычисление легко производится в цилиндрических координатах и дает:

Центр тяжести находится, как показывает простое вычисление, на оси конуса на расстоянии от вершины. По формуле (32,12) находим окончательно

е) Трехосный эллипсоид с полуосями а, b, с.

Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные оси инерции — с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования координат , превращающего уравнение поверхности эллипсоида

в уравнение поверхности единичной сферы

Так, для момента инерции относительно оси х получаем:

где — момент инерции шара единичного радиуса.

Рис. 38

Учитывая, что объем эллипсоида равен получим окончательно моменты инерции

3. Определить частоту малых колебаний физического маятника (твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси).

Решение. Пусть l — расстояние от центра инерции маятника до оси вращения, углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения. В качестве переменной координаты вводим угол между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра инерции на ось вращения. Скорость центра инерции а проекции угловой скорости на главные оси инерции: . Считая угол малым, находим потенциальную энергию в виде

Поэтому функция Лагранжа

Отсюда для частоты колебаний имеем:

4. Найти кинетическую анергию системы, изображенной на рис. 39; ОА и АВ — тонкие однородные стержни длиной l, шарниро скрепленные в точке А. Стержень ОА вращается (в плоскости рисунка) вокруг точки О, а конец В стержня АВ скользит вдоль оси

Решение. Скорость центра инерции стержня ОА (находящегося на его середине) есть где — угол АОВ. Поэтому кинетическая энергия стержня ОА

( — масса одного стержня).

Декартовы координаты центра инерции стержня АВ: Так как угловая скорость вращения этого стержня тоже равна то его кинетическая энергия

Полная кинетическая энергия системы

(подставлено согласно задаче 2, а)).

5. Найти кинетическую энергию цилиндра (радиуса R), катящегося по плоскости. Масса цилиндра распределена по его объему таким образом, что одна из главных осей инерции параллельна оси цилиндра и проходит на расстоянии а от нее; момент инерции относительно этой главной оси есть l.

Рис. 39

Рис. 40

Решение. Вводим угол между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра тяжести на ось цилиндра (рис. 40). Движение цилиндра в каждый момент времени можно рассматривать как чистое вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией его соприкосновения с неподвижной плоскостью; угловая скорость этого вращения есть (угловая скорость вращения вокруг всех параллельных осей одинакова). Центр инерции находится на расстоянии мгновенной оси и потому его скорость есть Полная кинетическая энергия

6. Найти кинетическую энергию однородного цилиндра радиуса а, катящегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 41).

Решение. Вводим угол между линией, соединяющей центры обоих цилиндров, и вертикалью. Центр инерции катящегося цилиндра находится на оси и его скорость .

Рис. 41

Рис. 42

Угловую скорость вычисляем, как скорость чистого вращения вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией соприкосновения цилиндров; она равна

Если — момент Инерции относительно оси цилиндра, то

( — из задачи 2, в).

7. Найти кинетическую энергию однородного конуса, катящегося по плоскости.

Решение. Обозначим посредством угол между линией ОА соприкосновения конуса с плоскостью и каким-либо неподвижным направлением в этой плоскости (рис. 42). Центр инерции находится на оси конуса и его скорость , где — угол раствора конуса, а — расстояние центра инерции от вершины. Угловую скорость вращения вычисляем, как скорость чистого вращения вокруг мгновенной оси ОА:

Одна из главных осей инерции (ось ) совпадает с осью конуса, а другую (ось ) выбираем перпендикулярно к оси конуса и линии ОА. Тогда проекции вектора Q (направленного параллельно ОА) на главные оси инерции будут . В результате находим для искомой кинетической энергии:

( — высота конуса, — из задачи 2, д).

8. Найти кинетическую энергию однородного конуса, основание которого катится по плоскости, а вершина постоянно находится в точке над плоскостью на высоте, равной радиусу основания (так что ось конуса параллельна плоскости).

Решение. Вводим угол между заданным направлением в плоскости и проекцией на нее оси конуса (рис. 43).

Тогда скорость центра инерции (обозначения те же, что в задаче 7). Мгновенной осью вращения является образующая конуса ОА, проведенная в точку его соприкосновения с плоскостью. Центр инерции находится на расстоянии а от этой оси и потому

Рис. 43

Рис. 44

Проекции вектора Q на главные оси инерции (ось выбираем перпендикулярной к оси конуса и линии ОА): . Поэтому кинетическая энергия

9. Найти кинетическую энергию однородного трехосного эллипсоида, вращающегося вокруг одной из своих осей (АВ, рис. 44), причем последняя сама вращается вокруг направления CD, перпендикулярного к ней и проходящего через центр эллипсоида.

Решение. Угол поворота вокруг оси CD обозначим посредством , а угол поворота вокруг оси АВ (угол между CD и осью инерции перпендикулярной к АВ) через Тогда проекции Q на оси инерции будут:

(причем ось совпадает с АВ). Поскольку центр инерции, совпадающий с центром эллипсоида, неподвижен, то кинетическая энергия

10. То же, если ось АВ наклонена, а эллипсоид симметричен относительно этой оси (рис. 45).

Рис. 45

Решение. Проекции Q на ось АВ и на перпендикулярные к ней две другие главные оси инерции (которые можно выбрать произвольно):

Кинетическая энергия