Главные направления и главные деформации.

При определении главных направлений напряженного состояния в точке было показано, что в указанных направлениях нормальные напряжения обладают экстремальными свойствами (имеют наибольшие значения по отношению к напряжениям в других направлениях). Воспользуемся этими свойствами для нахождения главных направлений деформации. Ограничимся практически наиболее важным случаем плоской деформации (деформация в плоскостях, параллельных плоскости перемещение ).

Найдем экстремальное значение в зависимости от угла , характеризующего направление деформации. Приравнивая нулю производную, получим

что дает

Величина

называется тензорной компонентой сдвига.

Как уже указывалось, по аналогии между напряженным и деформированным состоянием величина соответствует ту.

Соотношение (26) определяет два главных направления при плоской деформации (третье направление к ним перпендикулярно, соответствует деформации ).

Представляя соотношение (24) в виде

и учитывая зависимости (26) и (27) гл. 2, найдем с помощью равенства (26) главные деформации

Тензор деформаций.

Тензор деформаций имеет структуру, полностью аналогичную тензору напряжений (см. разд. 6):

По аналогии с инвариантами напряженного состояния запишем инварианты деформированного состояния:

Напомним, что инвариантами деформированного (или напряженного) состояния называются величины, не зависящие от выбора системы координат. Разберем физический смысл первого инварианта дефор мируемого состояния. Найдем изменение объема элемента тела (рис. 3.9) при деформации. Первоначальный объем элемента

После деформации ребра получили деформации . Новый объем можно вычислить, пренебрегая деформациями сдвига:

Объемная деформация составит

или в пределах малых деформаций

Рис. 3.9. Изменение объема элемента при деформации

Первый инвариант представляет объемную деформацию, т. е. относительное изменение объема частицы материала. Это изменение зависит от свойств материала и напряженного состояния и не может зависеть от выбора осей системы координат.

Отметим, что тензор деформаций является симметричным, так как по определению

Если применяются для осей х, у, z обозначения , то тензор деформации имеет следующий вид:

где . Компоненты перемещения обозначаются

Преимущества тензорных обозначений легко видеть на примере тензорной записи уравнений Коши для компонентов тензора деформаций:

где запятая в нижнем индексе обозначает дифференцирование по координате, указываемой следующим за запятой индексом. Например,