Глава 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА

Проблема перенормировок во всех порядках теории возмущений является в теории поля центральной. После введения, посвященного изучению различных методов регуляризации, мы изложим схему вычитаний Боголюбова — Циммермана. Мы наметим доказательство сходимости перенормированных интегралов, а также изучим ультрафиолетовое поведение (теорема Вайнберга) и безмассовые теории Будет кратко рассмотрена перенормировка составных операторов. В конце главы мы проанализируем взаимосвязь, существующую между калибровочной инвариантностью и перенормировками.

8.1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПОДСЧЕТ СТЕПЕНИ РАСХОДИМОСТИ

8.1.1. Введение

Настоящая глава посвящена систематическому изучению процедуры перенормировок. Общие рассуждения, лежащие в основе этой процедуры, уже изложены в предыдущей главе на примере квантовой электродинамики Мы видели, что расходимости могут быть поглощены переопределением различных параметров теории — массы, константы связи и т. д. Целесообразно отвлечься вначале от трудностей, специфических для электродинамики, а именно от калибровочной инвариантности, и изучить перенормировку в скалярной теории Дополнительные проблемы, возникающие в связи с существованием симметрий, будут рассмотрены в конце этой главы для случая квантовой электродинамики, а в гл. 11 и 12 — для других внутренних симметрий.

Природа и свойства перенормировок были впервые сформулированы и изучены основателями квантовой теории поля Томонагой, Фейнманом, Дайсоном, Швингером и др Важный вклад внесли Салам, Вайнберг, Боголюбов и Парасюк, а также Хепп. Сравнительно недавно Циммерман и его последователи внесли еще

большую ясность в процедуру перенормировок. Эпштейн и Глазер развили аксиоматический подход

Математическая природа проблемы ясна Расходимости возникают в вычислениях по теории возмещений из-за отсутствия должной осмотрительности при умножении обобщенных функций Например, усеченная диаграмма собственной энергии на рис 8.1, а соответствует формально заданному выражению

Рис. 8.1. Расходящаяся диаграмма и соответствующий контролем

Непосредственного смысла оно не имеет Соответствующее выражение в импульсном пространстве, т. е. преобразование Фурье данной величины, логарифмически расходится Как мы видели в гл 7 (см т. 1), в таких расходящихся выражениях необходимо производить вычитания Поскольку мы требуем, чтобы вычитания были локальны в конфигурационном пространстве, данная операция сводится к изменению параметров лагранжиана на бесконечную величину Таким образом, мы оставляем мысль о том, чтобы использовать или измерять параметры исходного лагранжиана, так называемые «голые» величины, а выражаем все через конечные «перенормированные» наблюдаемые параметры.

Вначале заменим выражением

где - обобщенная функция, сосредоточенная в начале координат и выбранная таким образом, чтобы величина П в целом имела смысл Здесь достаточно использовать член, пропорциональный -функции С помощью преобразования Фурье величина

заменяется, например, хорошо определенным выражением

и мы можем записать формально

Строго говоря, константа А бесконечна, но формально можно считать, что второй член в (8.1) является вкладом от контрчлена нулевого порядка, представленного на рис 8 1,6 Накладывая определенное условие нормировки на П, можно однозначно зафиксировать конечную часть величины А Подчеркнем, что эта ренормализационная процедура применима вследствие локальности и вещественности вычитания и, следовательно, контрчлена

Ниже мы покажем, что операцию вычитания можно сформулировать систематическим образом Если для исключения расходимостей в функциях Грина требуется ввести в лагранжиан лишь конечное число дополнительных членов, то перенормированная теория будет зависеть только от конечного числа параметров. Такие теории называют перенормируемыми или суперперенормируемыми Остается доказать, что перенормированные интегралц действительно конечны и удовлетворяют условиям локальности и унитарности Ниже рассмотрим кратко эти вопросы

Несколько другой подход, предложенный Дайсоном и Швингером, основывается на системе интегральных уравнений, связывающих полные функции Грина (см разд 10 1) К сожалению, в этом подходе на промежуточных этапах также приходится иметь дело с бесконечными константами мультипликативных перенормировок

Наконец, наиболее ортодоксальная процедура, предложенная Эпштейном и Глазером, опирается непосредственно на аксиомы локальной теории поля в конфигурационном пространстве Она свободна от математически неопределенных выражений, однако в ней завуалирован мультипликативный характер перенормировок Последнее же свойство весьма существенно, так как при надлежащей интерпретации оно подводит к изучению ренормализационной группы (см гл 13)