10.2. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

В релятивистском подходе связанные состояния и резонансы определяются по положению полюсов функций Грина. Простое обобщение уравнения Шредингера, к сожалению, невозможно, за исключением особых случаев, таких, как случай статических внешних источников, обсуждавшийся в связи с уравнением Дирака.

Вообще говоря, имеются трудности двух типов. Прежде всего необходимо учесть эффекты запаздывания, из-за которых в задачу вводится дополнительная переменная, а именно относительное время Альтернативное описание опирается на использование промежуточного поля Однако при этом нельзя пренебрегать квантовыми свойствами последнего Таким образом, оказывается, что само понятие связанного состояния двух тел является лишь результатом чрезмерного упрощения реальной ситуации Несмотря на различные следствия, которые могут иметь большое практическое значение, во всех случаях, когда необходимо иметь последовательное описание, необходимо вернуться к общей теоретико-полевой картине Это верно и тогда, когда мы хотим учесть высшие радиационные поправки

Данному вопросу посвящено большое количество работ Здесь будет дан лишь небольшой обзор этих работ, но, как мы надеемся, наиболее важной их части. Напомним, что в гл 2 (т. 1) уже рассматривались связанные состояния водородоподобных атомов, а в гл 7 (т. 1) вычислялись поправки за счет лэмбовского сдвига в низшем порядке.

10.2.1. Однородное уравнение Бете — Солпитера

Вместо того чтобы иметь дело со всеми сложностями спинорной задачи, рассмотрим пока более простую модель скалярных частиц, взаимодействующих посредством обмена скалярными частицами другого типа Разумеется, это представляет собой теоретическое упражнение, цель которого заключается в том, чтобы продемонстрировать некоторые особенности реальной проблемы Ядро V также должно быть усеченным Кроме того, мы будем пренебрегать эффектами статистики, полагая, что две «заряженные» частицы принадлежат разным типам.

В символических обозначениях уравнение (10.26) можно переписать следующим образом:

здесь — полный пропагатор частицы 1, который мы ниже аппроксимируем свободным пропагатором с физической массой, а эффектами перенормировки пренебрежем Определяя величину —D как ядро оператора, обратного произведению можно записать

формальное решение этого уравнения в виде

    (10.30)

Отсюда следует, что полюсы могут находиться в тех точках, которым отвечает нулевое собственное значение оператора . Таким образом, мы пришли к однородному уравнению, описывающему свойства связанных состояний. Чтобы быть более точными, определим величины

Вклад связанного состояния (которое для простоты предполагается невырожденным) с массой М в запишется в виде

где

    (10.33)

Здесь Т обозначает антихронологическое упорядочение Обобщение на случай, когда имеется несколько вырожденных связанных состояний, производится непосредственно Аппроксимируя и свободными пропагаторами

находим

Уравнения (10.35) достаточно хорошо иллюстрируют способ рассуждений, типичный для уравнений Бете—Солпитера.

Хотя и имеется некоторое сходство, уравнения данного типа весьма сильно отличаются от нерелятивистского сравнения Шредингера Это различие отражается в наличии большего числа конфигурационных переменных, в том, что мы имеем дело с интегро-дифференциальными уравгеииями четвертого порядка, в том, что имеется ядро V, которое определяется из теории возмущений, а

также в том, каким образом энергия связанного состояния входит в уравнение.

Из трансляционной инвариантности следует, что

    (10.36)

Естественно ввести относительную пространственно-временную координату Однако общая конфигурационная переменная является априори произвольной. Мы можем выбрать две положительные величины таким образом, что

Якобиан данного преобразования равен единице. Запишем приведенные амплитуды Бете—Солпитера в виде

    (10.38)

Согласно определениям (10.33), величины х и X не следует путать с волновыми функциями, они скорее являются обобщенными формфакторами Условия нормировки нельзя получить непосредственно, поскольку в них входит относительное время Эта проблема, которая выглядит на первый взгляд безобидной, потребовала длительных исследований Роль нормировки состоит в том, чтобы задать правильную связь между функцией и четырехточечной функцией Грина Кроме того, условие нормировки существенно при отборе физических решений уравнения (10 35) Вернемся к неоднородному уравнению (10 29) Введем полный импульс пары (1, 2) с помощью соотношения

Связанное состояние и состояние, СРТ - сопряженное ему, дают полюсный вклад по переменной который можно записать в виде

где R — величина, регулярная в окрестности полюса Существенным для интерпретации решений в терминах связанных состояний является свойство факторизуемости вычета В случае вырождения его следует соответствующим образом обобщить

Проитерируем уравнение записав его предварительно в виде затем подставим соотношение (10 39) и воспользуемся соотношениями чтобы сравнить вычеты обеих частей при

Результат символически записывается в виде

или, что эквивалентно, в ковариантиой форме

причем в левой части производится интегрирование по относительным переменным. В общем случае условие нормировки в отличие от нерелятивистского случая зависит от «потенциала» V.

Полезно записать эти уравнения также и в импульсном пространстве. Пусть — переменная, сопряженная с х В соответствии с (10.37) имеем

где — импульсы полей соответственно (рис 10 5). Мы не имеем другого естественного определения относительного импульса, как то, которое возникает при разделении переменных в случае нерелятивистского движения

РИС. 10.5. Однородное уравнение для амплитуды х связанного состояния.

Нерелятивистское определение переменных соответствует частному выбору величин . В релятивистском случае такой выбор может быть полезным в целях сравнения с нерелятивистским описанием Используя для фурье-образов те же символы, что и в конфигурационном пространстве, и учитывая трансляционную инвариантность, получаем

Обмен скалярной частицей, имеющей массу и константы связи g, и с частицами 1 и 2, так что соответствующий лагранжиан взаимодействия имеет вид приводит в борновском приближении к величине

которая не зависит от Р. Условие нормировки записывается в явном виде следующим образом:

    (10.43)

Уравнение (10 35) и условие (10 40), или эквивалентные им (10.42) и (10 43), дают основу для изучения некоторых конкретных моделей.