8.2.3. Явное решение Циммермана

Приведенные примеры подсказывают общее решение рекуррентного уравнения (8.45). Следуя Циммерману, определим лес ренор-мализационных частей как семейство U сильно-связных неприводимых условно расходящихся поддиаграмм у, таких, что

Напомним, что равенство 0 означает, что эти поддиаграммы не имеют ни общих вершин, ни линий. Лес может быть пустым. Кроме того, обозначим через V леса диаграммы G, такие, что если G сама условно расходится, то G не принадлежит V. Разумеется, если G не является условно расходящейся, то две системы лесов совпадают.

Пусть выбрана согласованная система внутренних импульсов, для которой операции имеют смысл. Тогда такие операции, относящиеся к несвязным и коммутируют, в то время как в случае подразумевается, что величина должна стоять справа от [ср. с примерами, описываемыми формулами (8.46) и (8.47)]. При этих условиях покажем, что выражения

представляют собой решение уравнения (8.45). Во-первых, заметим, что пустому лесу соответствует член Во-вторых, если G является ренормализационной частью, мы можем сопоставить каждому У два леса -типа, а именно UX — V и . Следовательно, в этом случае выражения (8.49) дают тогда как если то по определению У. Оба случая согласуются с (8.41) и (8 42) Доказательство того, что (8.49) действительно является решением уравнения (8.45), проведем по индукции, предполагая, что утверждение доказано для произвольных диаграмм с числом петель не более Рассмотрим случай, когда G содержит L петель Запишем уравнение (8.45) и подставим в него выражение (8.49) для каждого Мы получим

Обозначения здесь являются громоздкими, но очевидными. Простая проверка показывает, что (8.50) воспроизводит все члены первого из выражений (8.49), соответствующие лесам экстремальных элементов По определению экстремальный элемент леса — это элемент у, который не входит ни в один другой лес. В сумму по несвязным системам все леса диаграммы G входят по одному и только по одному разу.

Мы пока не говорим о выборе условий нормировки. Поскольку природа тейлоровых вычитаний зависит от этого выбора, наиболее подходящим из них является промежуточная перенормировка, определенная выше, т. е. вычитание при нулевом импульсе. Если выбирается другая точка, например в безмассовых теориях, в которых вычитания при нулевом импульсе запрещены (см. разд 8.3.1), то необходимо специально позаботиться о сохранении лоренц-ивариантности.

Аналогичным образом можно провести последовательно дополнительные вычитания, т. е. сверх степени вытекающей из наших правил подсчета степеней. Мы не будем этим заниматься здесь и рекомендуем читателю обратиться к цитируемой в конце главы литературе (см также замечания в конце разд. 8.2 6).

Структура выражения такова, что в него входят лишь несвязные ренормализационные части, т. е. части, не имеющие общих вершин или линий Ради последовательности изложения покажем, что перенормированное подынтегральное выражение для некоторой сочлененной (или одновершинно-приводимой) диаграммы может быть факторизовано (рис. 8.6) В качестве примера рассмотрим диаграмму, приведенную на рис. 8 6, б, для четырехмерной теории. Имеются следующие леса

Следовательно

Для такой диаграммы . Поскольку степень расходимости для одна и та же и разложение в ряд Тейлора до порядка не влияет на полином степени , мы имеем

Следовательно, о можно записать также в виде

Это доказательство нетрудно обобщить на произвольный случай.

Можно непосредственно проверить, что в случае, когда все ренормализационные части диаграммы G являются вложенными одна в другую, выражения (8 49) сводятся к произведению операторов по всем у.

РИС. 8.6. Сочлененные (одновершинно приводимые) диаграммы

В ебщем случае такое произведение нужно расписать почленно и опустить в нем все члены, соответствующие перекрывающимся поддиаграммам Эти два утверждения являются непосредственным обобщением свойств, найденных для частных примеров в конце разд 8.2.2.

Соотношения (8.49) представляют собой главный результат, однако мы не можм быть полностью удовлетворены до тех пор, пока мы не докажем, что они приводят к сходящелуся интегралу. Особое затруднение вызывает случай перекрывающихся расходимостей Действительно ли рецепт, выражаемый соотношениями (8.49), достаточен, чтобы в таких случаях получалось сходящееся выражение? Как мы увидим ниже, ответ на этот вопрос является утвердительным После того как это будет доказано, использование промежуточной регуляризации не будет необходимым, поскольку вычитание подынтегрального выражения приводит к сходящемуся интегралу Фейнмана Тем не менее часто более удобно иметь дело с регуляризованными амплитудами, а не с громоздкими выражениями (8.49) Прежде чем дать схематическое доказательство сходимости, рассмотрим вычитания в параметрическом представлении.