9.4. ВЫСОКИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

9.4.1. Введение

Функциональные интегралы дают нам новое средство для исследования различных аспектов теории поля. В качестве иллюстрации приведем в заключение настоящей главы анализ теории возмущений в высоких порядках. Одна из целей нашего изучения состоит в том, чтобы попытаться лучше понять причины поразительной точности, которую дают последовательные приближения в квантовой электродинамике и в других многообещающих моделях с малыми константами связи. Мы предпринимаем это исследование, надеясь также преодолеть ограничения, характерные для разложений

теории возмущений, и включить в рассмотрение явления сильной связи. Хотя наши знания на сегодняшний день еще далеки от того, чтобы их можно было считать удовлетворительными, достигнутые важные результаты оправдывают те усилия, которые предпринимаются в данном направлении, Кроме того, здесь нам представляется случай продемонстрировать применение методов расчета, связанных с использованием континуальных интегралов.

По своей природе ряд теории возмущений связан с аналитическими свойствами функций Грина как функций константы связи в окрестности нуля Изучение этих свойств возможно, но является чрезвычайно сложным делом.

К счастью, существует менее строгий, но реально осуществимый подход, который приводит к аналогичным выводам, а именно что ряд теории возмущений во всех интересных случаях сильно расходится Однако, несмотря на это, ряд теории возмущений, как будет видно из дальнейшего изложения, может оказаться весьма полезным

Таким образом, нашу задачу можно разбить на две независимые части Сначала мы ищем оценку для высоких порядков разложения функции Грина, заданного хорошо определенными правилами Фейнмана и рецептами перенормировки. Некоторые аспекты этой программы уже завершены. Стоит заметить, что здесь мы уже не зависим от ответа на вопрос, определяет ряд однозначную математическую величину или нет Для некоторых практик ческих целей этот первый этап может оказаться вполне достаточным Например, может случиться так, что квантовая электродинамика в ее современном виде не является полностью последовательной и что в рамках более глубокой теории степенные ряды по а окажутся асимптотическими.

Вторая часть задачи состоит в том, чтобы попытаться восстановить из данных разложений однозначную теорию в соответствии с некоторыми определенными рецептами Эта задача, очевидно, трудноразрешима, и для ее решения потребуется дополнительная информация Последнюю можно получить с помощью независимого построения Тем не менее в самой структуре ряда можно обнаружить такие свойства, которые подскажут нам разумные способы его суммирования.

Природу расходимостей нетрудно понять на примере исследования простого случая Для этой цели заменим континуальные интегралы обычными интегралами вида

    (9.177)

Разумеется, этот случай настолько тривиален, что можно получить в замкнутой форме В точке имеется существенная сингулярность При отрицательных при контур интегрирования в (9 177) можно повернуть. Это становится невозможным, когда g приближается к отрицательной вещественной оси и интеграл расходится при больших Величину можно рассматривать как значение поля в точке, а выражение что-то похожее на действие . Отрицательные значения g отвечают нестабильной ситуации, когда «потенциал» не ограничен снизу. Это находит отражение в разложении по теории возмущений, если записать

где

Используя формулу Стирлинга

мы видим, что при больших k величина дается выражением

Тем не менее степенной ряд по g является асимптотическим в комплексной -плоскости, разрезанной вдоль отрицательной вещественной полуоси, поскольку из оценки

следует, что при фиксированном и достаточно малом g ее правую часть можно сделать сколь угодно малой

Асимптотическое поведение величины было получено с помощью формулы Стирлинга, примененной к точному выражению. Однако в реальных случаях точное выражение получить невозможно. Рассмотренный пример наводит на мысль применить к выражению

    (9.181)

при больших k метод перевала. Положение седловой точки определяется равенством

    (9.182)

а интегрирование по квадратичным отклонениям от дает

    (9.183)

как и прежде.

Какую информацию можно извлечь из такого расходящегося ряда помимо использования его в асимптотическом смысле для вычисления функции при малых При некоторых благоприятных обстоятельствах, подобных тем, которые мы здесь обсуждали, степенной ряд (9.178) в действительности содержит достаточно информации для однозначного восстановления функции. Конечно, имеется возражение, что всегда можно добавить произвольную функцию типа , производные которой обращаются в нуль в начале координат при стремлении к нему вдоль положительной вещественной оси. Однако в хорошо определенном классе функций, в котором исключены такого рода патологии [и к которым принадлежит мы можем с помощью преобразования Бореля восстановить из соответствующего расходящегося ряда теории возмущений.

Введем функцию

    (9.184)

в которой присутствие в знаменателе оправдывается поведением, описываемым формулой (9.179). В зависимости от рассматриваемого случая эта величина может несколько меняться. Ряд в (9.184) будет сходиться в круге конечного радиуса комплексной -плоскости. Если функцию можно продолжить на всю вещественную положительную полуось и она не возрастает слишком быстро на бесконечности, то можно записать в виде

    (9.185)

Для доказательства суммируемости по Борелю недостаточно того, что нам известен ряд теории возмущений. Однако этого достаточно, чтобы доказать отсутствие суммируемости в случае, когда имеет сингулярность на положительной вещественной полуоси. Это имеет место, например, когда имеют асимптотически одинаковые фазы.

В нашем простом случае мы имеем

    (9.186)

причем является аналитической в плоскости, разрезанной на промежутке от —1/16 до .

Для того чтобы получить сходящееся разложение функции Z (g), отобразим разрезанную -плоскость на круг, не меняя положение нуля (здесь это обеспечено выбором переменной и), и выпишем сходящийся ряд Тейлора для В (и):

    (9.187)

вытекающий из соответствующего разложения по t. При этом

    (9.188)

Поскольку коэффициенты убывают здесь как легко видеть, что этот новый ряд будет сходиться как

Поведение, обнаруживаемое в данном примере, говорит о тесной связи с некоторыми расходимостями, которые встречались нам в теории поля, поскольку коэффициенты разложения по степеням величины g равны числу вакуумных диаграмм в теории Это следует непосредственно того факта, что теорема Вика применима к интегралам от мономов с гауссовым весом.

Данное замечание применимо и к другим теориям поля. Рассмотрим, например, b электродинамике интеграл

    (9.189)

где предполагается, что представляют собой комплексно-сопряженные с-числовые переменные. За исключением сокращений, вытекающих из теоремы Фарри, разложение функции по степеням величины дает число диаграмм, отвечающих связным функциям. Это осуществляется симметризацией производящей функции для заряженных петель по отношению к , когда , т. е. заменой Z на

Интеграл имеет смысл при отрицательных Фотонный и электронный пропагаторы G и S, связанные с поляризацией вакуума и собственной энергией 2, запишутся соответственно в виде

    (9.191)

где усреднение выполняется с мерой Удивительно, что эти выражения совпадают:

здесь - модифицированная функция Бесселя:

Разложение выражения (9.192) при больших дает

    (9.193)

Эти выражения следует сравнивать с числом диаграмм для поляризации вакуума при наличии лишь одной заряженной петли:

    (9.194)

Аналогично производящая функция для вершинных диаграмм равна

    (9.195)

Особо смелые люди берутся за вычисление 891 диаграммы для электронной аномалии в восьмом порядке, но можно ли всерьез задумываться о рассмотрении 12672 диаграмм в десятом порядке?