12.1.3. Решения классических уравнений движения в евклидовой области

Исследование классических решений стимулируется уверенностью в том, что полуклассический подход может помочь в понимании квантового мира и что классические конфигурации полей, для которых действие стационарно, играют важную роль.

Особый интерес представляют недиссипативные конфигурации с конечной энергией, т. е. конфигурации, энергия которых остается локализованной в конечной области пространства и не уходит в виде излучения на бесконечность. Такие объекты можно рассматривать как модели для описания на квантовом уровне систем, протяженных в пространстве. Это когерентные состояния фундаментальных полей, если они не подвержены распадам. Свойство стабильности может обеспечиваться каким-либо законом сохранения, возможно, топологической природы Сиаемы такого рода называются солитонами или сгустками энергии. Поскольку они возникают при разложении действия вблизи нетривиальной стационарной точки, эти сгустки и их квантовые возбуждения обладаю! свойствами, которые нельзя получить путем обычного разложения по теории возмущений. В разд 12.5.3 мы рассмотрим пример четырехмерной калибровочной теории, включающей скалярные поля, которая дает решения с конечной энергией. С другой стороны, можно показать, что нетривиальные недиссипативные решения при конечной энергии не существуют в неабелевых калибровочных теориях, содержащих только калибровочные поля Иными словами, в такой теории любое решение этого сорта эквивалентно

Рассмотрим функцию Лагранжа для не зависящего от времени решения, т. е. интеграл по пространству от лагранжиана

здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (12.31). Полная энергия Н равна сумме следовательно, ее конечность означает, что величины и L также являются конечными. Решение, если оно существует, неустойчиво относительно масштабных преобразований

При этом функция Лагранжа преобразуется следующим образом:

и должна быть стационарной при . Это приводит к

Следовательно, и в силу глобального обобщения локального утверждения (12.22) это калибровочное поле сводится всюду к чистой калибровке. Можно показать, что рассуждение, основанное на таком масштабном преобразовании (принадлежащее Коулмену), запрещает существование нетривиальных, не зависящих от времени решений в любом пространстве, размерность которого отлична от четырех Этот аргумент можно применить и к более общим недиссипативным конфигурациям.

Существуют, однако, нетривиальные решения классических уравнений в четырехмерном евклидовом пространстве Прежде чем объяснить природу и роль этих евклидовых решений, займемся дальнейшим анализом структуры основного состояния в неабелевых калибровочных теориях.

Для этой цели удобно наложить калибровочное условие . Классически основное состояние должно соответсгвовать независящим от времени конфигурациям поля с исчезающе малой плотностью энергии.

Таким образом, мы имеем откуда следует, поле А является чистой калибровкой

    (12.33)

Кроме того, мы предполагаем, что можно ограничиться калибровочными функциями которые имеют один и тот же предел по всем пространственным направлениям. Этот предел можно отождествить с единицей группы

    (12.34)

(в действительности не существует каких-либо убедительных аргументов, оправдывающих это допущение). При этих обстоятельствах все конфигурации поля, записываемые в виде (12.33) и (12.34), можно рассматривать как описывающие основное состояние. Мы можем задаться вопросом, все ли экземпляры вакуума эквивалентны, т. е. существует ли исчезающее на пространственной бесконечности непрерывное калибровочное преобразование, которое связывает любые два из них. Как правило, хотя это и неожиданно, отве! на данный вопрос является отрицательным. Предположим для определенности, что калибровочной группой является SU(2). Любая матрица SU(2) может быть параметризована с помощью матриц Паули в виде

    (12.35)

где и является вещественным и удовлетворяет условию «о . Следовательно, SU (2) изоморфна трехмерной сфере . С другой стороны, трехмерное пространство, все точки которого на бесконечности отождествлены, также топологически эквивалентно Поэтому калибровочное преобразование , связанное с каждым вакуумом, осуществляет отображение на 53. Согласно теории гомотопий, такие отображения распадаются на классы эквивалентности. Два отображения принадлежат одному и тому же классу, если существует непрерывная деформация . В рассматриваемом случае классы обозначаются положительным или отрицательным целым числом, называемым степенью отображения, или индексом Понтрягина, класса. Это целое число характеризует число отображений сферы на саму себя. Оно равно

    (12.36)

где дается соотношением (12.33). Примерами представителей класса являются

принадлежит классу. Тот же самый вывод справедлив и для других простых групп, а именно что существует дискретный набор неэквивалентных вакуумов нумеруемых целыми числами .

Как объяснялось в гл. 11, такое вырождение основного состояния недопустимо, и оно в действительности исчезает за счет квантового туннельного эффекта. Истинный вакуум представляет собой линейную суперпозицию вырожденных приближенных вакуумов Поскольку вышеприведенное калибровочное преобразование сдвигает на единицу и поскольку истинный вакуум должен быть инвариантен (с точностью до фазы) относительно любого калибровочного преобразования, мы имеем

    (12.37)

где - новый произвольный (и неожиданный!) параметр теории.

Теперь нам будет легче понять, как происходят туннельные переходы между вырожденными состояниями вакуума Начнем с того, что запишем формулу Фейнмана—Каца [см. (9.198)]

    (12.38)

где Н — гамильтониан системы, а - евклидово действие на интервале времени от 0 до Т:

    (12.39)

Здесь мы обобщили определение тензора напряженности на случай евклидовых переменных. В выражении (12.38) функциональный интеграл вычисляется при следующих граничных условиях, накладываемых на степень отображения :

    (12.40)

Нами допущена здесь небольшая хитрость, поскольку мера Ц) (А) не определена пока надлежащим образом. Точное ее определение дается при обсуждении процедуры квантования в разд 12.2. Покажем теперь, как можно по-другому объяснить классификацию основных состояний в соответствии с гомотопическими классами поверхности Рассмотрим при те конфигурации, окрестность которых дает конечный вклад в формулу Фейнмана-Каца. Поскольку их евклидово действие конечно, должно исчезать на бесконечности во всех направлениях евклидова пространства, а это сводится к утверждению, что является чисто калибровочным полем и осуществляет отображение поверхности заданной на бесконечности в четырехмерном евклидовом пространстве, — на группу, например, . Кроме того, можно показать, что число , связанное с этим отображением, записывается в виде евклидова интеграла

где дуальный тензор . Мы видим, что

Предполагается, что в интеграл (12.38) при очень больших Т доминирующий вклад дает окрестность стационарных конфигураций, которые являются решениями классических уравнений движения в евклидовом пространстве

    (12.43)

удовлетворяющими граничному условию (12.40) или, что эквивалентно, условию

    (12.44)

Такому решению соответствует действие, ограниченное снизу по . Это обусловлено положительностью интеграла

    (12.45)

Следовательно,

Последнее неравенство насыщается самодуальными или антисамодуальными конфигурациями поскольку при этом уравнения движения удовлетворяются автоматически благодаря тождеству (12.21)

В последнее время были получены явные решения с произвольным числом Понтрягина. Решение, предложенное Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюпкиным при , записывается в виде

    (12.47)

Очевидно, что на бесконечности А сводится к чистой калибровке, соответствующей тождественному отображению на . Таким образом, мы ожидаем и можем проверить прямым вычислением, что это решение имеет Если мы используем в более общем случае параметризацию

то уравнение принимает вид

    (12.49)

Случай соответствует но могут быть построены и другие решения, отвечающие степеням отображения

Они зависят от произвольных масштабных параметров, и координат Такие решения называются псевдочастицами (из-за мнимой временной координаты) или инстантонами (благодаря их локализации во времени в отличие от трехмерных солитонов). Известно, что должны существовать и другие решения. Для SU (2), например, общее решение с точностью до калибровочного преобразования зависит от параметров. Мы не будем останавливаться ни на этой, быстро развивающейся области исследований, ни на многих других связанных с ней задачах, таких, как модификации, возникающие в рассматриваемой картине в присутствии безмассовых фермионов.

Несмотря на их привлекательность, в дальнейшем мы не будем возвращаться к изучению глобальных свойств. Это связано с тем, что ниже будет использоваться лишь разложение теории возмущений, а оно не чувствительно к выбору вакуума, относительно которого производится.