11.4.2. Перенормировка

Лагранжиан полученный выше с помощью сдвига поля а, или его разновидность в пределе соответствующая голдстоуновской моде, приводят к перенормируемой теории, как показывает подсчет степеней расходимости. Все вершины в лагранжиане взаимодействия имеют размерность, которая не больше четырех, то же самое справедливо для любых возможных контрчленов Остается лишь показать, что форма лагранжиана вместе со всеми контрчленами будет такой же, как в выражении (11.149), отражающем структуру исходного лагранжиана (11.144) В частности, можно поставить вопрос, что произойдет с соотношением ЧСАТ (11.148)? Мы покажем, что все свойства теории сохраняются. Для этого произведем вначале перенормировку в симметричной фазе, а затем докажем, что при этом автоматически охватываются случаи явного (с или спонтанного нарушения симметрии.

Чтобы упростить рассмотрение, опустим в лагранжиане члены с фермионными полями, поскольку они не вносят каких-либо принципиально новых трудностей. Будем также использовать компактные обозначения, причем мультиплет полей, преобразующихся по векторному представлению группы симметрии обозначим через Ф В предыдущем примере было равно четырем. Напишем лагранжиан в виде

Очевидно, что лагранжиан инвариантен при преобразованиях

где - инфинитезимальные генераторы группы, в данном случае антисимметричных вещественных -матриц

Вначале удобно произвести инвариантную регуляризацию теории. Это можно сделать, например, путем следующей модификации кинетического члена:

что приведет к пропагатору с достаточно гладким поведением при больших импульсах, чтобы обеспечить сходимость всех интегралов Фейнмана Далее будем всегда подразумевать, что такая регуляризация выполнена.

Рассмотрим теперь производящий функционал для связных функций Грина в симметричной теории:

    (11.156)

Вследствие инвариантности (регуляризованного) лагранжиана при преобразованиях (11.155) функция удовлетворяет соотношению

которое эквивалентно условию

    (11.157б)

Чтобы выявить структуру расходимостей, необходимо иметь аналогичное тождество для неприводимых функций Грина, полученных с помощью преобразования Лежандра:

Поскольку справедливо обратное соотношение

мы видим, что при преобразованиях обладает свойствами инвариантности, аналогичными (11.1576):

    (11.159)

Следовательно, если инвариантны условия нормировки, любые контрчлены, необходимые для перенормировки, должны быть инвариантными. Действительно, предположим, что это свойство справедливо в приближении L петель. Поскольку 3 s представляет собой наиболее общий инвариантный полином четвертой степени, введение контрчленов может только перенормировать массу и константу связи к, а также мультипликативно изменить поле (одновременно все его компоненты) за счет умножения на константу перенормировки волновой функции Z. Так как обладает той же симметрией, что и заключаем, что Г, вычисленное по этому лагранжиану, в приближении петли удовлетворяет тому же самому условию (11.159). Его расходящаяся часть порядка представляет собой локальный симметричный полином, генерирующий контрчлены в порядке Это

индуктивное доказательство мы провели здесь довольно формально. В более сложных случаях параметризация групповых преобразований может изменяться в каждом порядке за счет перенормировки, но приведенные выше рассуждения и тогда остаются полезными.

Рассмотрим теперь полный лагранжиан 3, включающий линейный нарушающий член с . Чтобы можно было правильно использовать теорию возмущений, необходимо произвести сдвиг поля

    (11.160)

Опуская штрих, имеем выражение

знаменатель в котором гарантирует, что . Поскольку является немой переменной, ее можно сдвинуть без изменения значения функционального интеграла:

и записать через симметричный функционал

    (11.163)

где v определяется из условия обращения в нуль производной по j при

    (11.164)

Аналогично находим

    (11.165)

причем

Таким образом,

    (11.167)

Из тождества (11.159), выраженного через Г (Ф), получаем

    (11.168)

Разберемся более подробно в смысле уравнения (11.168), Например, возьмем производную по Ф и положим

    (11.169)

Примем во внимание условие которое следует из определения величины v и антисимметрии матриц Т. Тогда из (11.169) следует, что обратный пропагатор ) при нулевом импульсе удовлетворяет следующему уравнению:

    (11.170)

Отсюда вытекает, что векторы с и v коллинеарны, что было уже очевидно из выражений (11 167) Если рассматривать с как внешнее магнитное поле, то вектор намагниченности v будет направленным вдоль с Масса поперечных (по отношению к с) состояний определяется выражениями

    (11.171)

и

Величина в -модели играет роль массы пиона и обобщает результат, полученный в разд 11.4.1 Из (11.167) следует, что перенормировка симметричной теории автоматически решает проблему перенормировки нарушенной теории. Точнее говоря, если

    (11.173)

то соответствующий перенормированный функционал в случае нарушенной симметрии записывается в виде

    (11.174)

Здесь оказалось необходимым изменить масштаб нарушающего симметрию параметра с:

    (11.175)

таким образом, чтобы произведение с -Ф осталось инвариантным: с Последнее обеспечивает справедливость соотношений

Соотношения (11.167) предполагают, что в случае нарушенной симметрии амплитуды получаются суммированием вставок диаграмм типа головастик в симметричной теории. Например, -точечные функции Грина (р > 1) можно записать в виде (рис. 11.13)

    (11.177)

Для компактности записи мы предположили, что v направлен вдоль первой оси в изотопическом пространстве.

Обсуждение перенормировки можно провести и в том случае, когда нарушающие симметрию члены имеют более сложную структуру и включают операторы более высокой размерности.

РИС. 11.13. Суммирование диаграмм типа головастик.

Урок, который можно извлечь из работы Симанзика, состоит в том, что только нарушающие члены размерности требуют введения контрчленов, размерность которых ниже или равна . Например, нарушающий симметрию массовый член не будет влиять на контрчлены степени три или четыре, и они будут оставаться симметричными. Таким образом, при мягком нарушении остается след исходной симметрии Жесткое нарушение будет заведомо полностью разрушать симметрию

Эти свойства ультрафиолетовых расходимостей отражаются в асимптотическом поведении перенормированных функций Грина при больших импульсах, по крайней мере в евклидовой области Это — другой аспект теоремы Вайнберга (см. разд. 8.3.2). Мягкое нарушение не влияет на асимптотический режим, который остается таким же, как и в симметричной теории

Читатель может задать вопрос, в чем состоит связь между этим обсуждением и тождествами Уорда

    (11.178)

которые встречаются в квантовой электродинамике или в приложениях алгебры токов Легко убедиться, что предшествующие соотношения являются соотношениями типа (11.178), проинтегрированными по х. Поля отождествляются с а i представляет собой нетеровский ток

При интегрировании левая часть соотношения (11.178) обращается в нуль, поскольку она представляет собой полную производную, а поверхностные члены в отсутствие безмассовых частиц не появляются. В правой части величина равна а последний член можно переписать в виде вариации поля

В результате мы получим тождество (11.168).

Мы рекомендуем читателю вывести соотношение (11.178) из функционального интеграла (11.162) на основе того свойства, что последний не изменяется при замене переменных , где зависит от Эта зависимость приводит к вариации в соответствии с определением тока Беря производную по мы получаем соотношение (11.178). Перенормировку этого тождества можно изучить сначала в симметричной теории, чтобы показать, что токи не перенормируются, или, иными словами, что Более того, на это свойство не влияет введение мягкого нарушения, так что мультипликативная константа перенормировки тока и в этом случае равна единице При этом возникает вопрос: встретятся ли какие-нибудь новые трудности, если мы попытаемся вывести тождества при наличии в теории нескольких токов?

Теперь мы готовы обсудить интересный случай спонтанного нарушения симметрии На первый взгляд кажется разумным начать с перенормируемой симметричной теории при а затем продолжить ее в область . Однако при этом мы столкнемся с трудностью, а именно переходом через сингулярную точку. Физические величины, такие, как , будут неаналитичны по при Чтобы справиться с этой трудностью и обойти сингулярность, введем малый линейный нарушающий член (). На рис. 11.14 показано, как можно перейти в голдстоуновскую фазу, продвигаясь по пути сфуб посредством последовательного изменения с и Из предыдущего рассмотрения следует, что контрчлены симметричной теории (точка а) обеспечивают конечность в точке с нарушенной симметрией . Симметричные массовые контрчлены будут переходить из точки в точку у, соответственно изменению величины Наконец, при обращении с в нуль (точка б) перенормированные функции будут удовлетворять тождеству

    (11.179)

а соотношение (11.170) примет вид

    (11.180)

Это означает, что поперечных бозонов становятся безмассовыми голдстоуновскими бозонами спонтанно нарушенной симметрии.

Уравнение (11.179) неявно включает в себя все соотношения между функциями Грина в голдстоуновской фазе и приводит к ряду низкоэнергетических теорем.

Тот факт, что линейная -модель и ее голдстоуновский предел явным образом реализуют ограничения алгебры токов и ЧСАТ уже на уровне борновских членов, предполагает ее использование в качестве феноменологического лагранжиана, подобно теории Ферми для слабых взаимодействий

РИС. 11.14. Зависимость от в отсутствие (сплошная линяя) и в присутствии (штриховая линия) внешнего поля с.

На самом деле можно найти целый ряд феноменологических взаимодействий с такими свойствами. Общая идеология этого подхода состоит в том, что в нем не рассматриваются проблемы перенормировок и учитываются соотношения между амплитудами процессов лишь в низшем порядке.

Примером такого рода служит нелинейная -модель. Ее название связано с нелинейной реализацией киральной группы на многообразии:

Выражая а через пионное поле, соответствующий лагранжиан можно записать в виде

Отсюда мы видим, что на классическом уровне киральная симметрия реализуется в голдстоуновской фазе. Составное поле отлично от нуля, а пион является безмассовым.

Хотя в -мерном пространстве-времени эта теория не является перенормируемой в соответствии с обычными критериями, она вызывает большой интерес благодаря своим приложениям к статистической физике, в которой она описывает непрерывный предел классической модели Гейзенберга Кроме того, теория, в которой используется лагранжиан типа (11.182), перенормируема в двумерном пространстве, где скалярное поле безразмерно и, как можно показать, тождества Уорда ограничивают структуру контрчленов Таким образом, эта теория характеризуется свойствами, присущими современным теориям сильных взаимодействий (квантовой хромодинамике).