8.2.4. Перенормировка в параметрическом представлении

Рецепты вычитательной процедуры можно сформулировать в параметрическом представлении. При этом мы получаем более простое доказательство теоремы о сходимости. Опишем кратко наиболее важные этапы этого доказательства

В качестве предварительного примера рассмотрим снова однопетлевую Диаграмму собственной энергии (8.7) для -теории в шести измерениях.

Соответствующая амплитуда в евклидовой области запишется в виде

где Мы имеем здесь квадратичную расходимость, обусловленную неинтегрируемостью в начале координат в параметрическом пространстве.

РИС. 8.7. Диаграмма «пузырь».

Если мы используем промежуточную перенормировку, то перенормированная форма будет получаться после вычитания конечной части разложения в ряд Тейлора по в окрестности нуля:

При одновременном растяжении параметров на величину X подынтегральное выражение, подвергнутое вычитанию, будет вести себя как . Благодаря дополнительному фактору X, возникающему из меры интеграл будет сходящимся в нуле. Теперь вычитание по можно преобразовать в вычитание по параметру К, если мы вспомним свойства однородности величин Q и и заметим, что

и

Этот явный пример приводит нас к следующему определению. Пусть — функция переменной р, такая, что величина дифференцируема в нуле до некоторого целого порядка . Определим оператор следующим образом:

здесь k — целое число. Можно непосредственно проверить, что это определение не зависит условия и что его можно обобщить на нецелые значения . Выражение (8 53) имеет смысл при условии, что а это значит, что k может принимать отрицательные значения. Мы полагаем по определению, что

Существенное свойство этого обобщенного разложения Тейлора состоит в том, что

В предыдущем примере мы имели следующее перенормированное подынтегральное выражение:

где обозначения указывают, что вычитания выполняются при и затем функция вычисляется при

Эти действия обобщаются на произвольные ситуации Если вернуться к четырехмерному случаю, то формулы (8.49), переведенные на язык параметрического представления, дают следующую перенормированную амплитуду:

Оператор действует на параметры относящиеся к ренормализационной части после растяжения обозначает число внутренних линий в поддиаграмме у. Вычитания выполняются при а результат вычисляется при Эти действия выполняются для всех у, принадлежащих лесу U, а затем проводится суммирование по соответствует тождеству без вычитаний). Для простош в выражениях (8.55) рассматривается скалярная теория в евклидовой области, не содержащая связей с производными, а перенормировка производится в начале координат импульсного пространства Обобщение на случай ненулевого спина, связей с производными высших размерностей и т. п. не вносит каких-либо трудностей, усложняются лишь обозначения.

Формулировка вычитаний в параметрическом пространстве обладает замечательными алгебраическими свойствами. Можно показать, что полное выражение (8.55) не зависит от порядка, в котором производятся тейлоровы вычитания, хотя две отдельные операции относящиеся к перекрывающимся поддиаграммам, вообще говоря, не коммутируют. Кроме того, для данной диаграммы или конечной системы диаграмм существует ограничение сверху на значения степени . Следовательно, операторы зависят только от числа внутренних линии и уже не зависят от конкретной топологии диаграммы.

Можно избавиться даже от последней ссылки на топологию в (8.55), а именно на нумерацию лесов и ренормализационных частей. Мы докажем сначала, что

где произведение берется по всем ренормализационным частям диаграммы. Иными словами, вычитания, относящиеся к перекрывающимся поддиаграммам,

в это выражение не входят. В качестве иллюстрации проверим это свойство на примере диаграммы, изображенной на рис. 8.8. В четырехмерном пространстве диаграмма G и ее поддиаграммы и Y являются ренормализационными частями Чтобы показать эквивалентность выражений (8.55) и (8.56), мы должны доказать тождество

где — параметр растяжения для G.

РИС. 8.8. Расходимости перекрывающихся диаграмм, изучаемые в параметрическом пространстве.

Если обозначить через функцию в квадратных скобках, то нетрудно показать, что она имеет вид

поскольку только а, принадлежащие у, одновременно растягиваются в раз. Следовательно, действие оператора дает

(Ограничение снизу зависит от того, какую теорию мы рассматриваем; в скалярной теории это — где L — число петель в ) Таким образом,

и

Каждый отдельный член в сумме является однородной функцией от степени Однако

Следовательно, действие последнего вычитания которое оставляет лишь члены степени выше, чем — , дает нуль. Обобщение этого доказательства на произвольную ситуацию — дело простого пересчета.

Наконец, нетрудно показать, что вычитания по параметру однородности подсистем параметров, не соответствующих условно расходящимся связным поддиаграммам, не сказываются на полном выражении. Таким образом, окончательный результат нашего рассмотрения запишется в виде

где произведение берется по непустым системам параметров а. Результат опять не зависит от порядка операторов. Последнее выражение имеет два достоинства. Во-первых, оно не зависит топологии диаграммы. Во-вторых, оно позволяет нам, по крайней мере качественно, понять аргументацию доказательства сходимости Действительно, для любого семейства g параметров а (8.57) можно перенести оператор влево от произведения. Из (8.54) следует, что подынтегральное выражение ведет себя как и, следовательно, интегрируемо по поскольку мера по-прежнему содержит фактор . К сожалению, того, что возможная сингулярность в произвольной подсистеме параметров а интегрируема, еще недостаточно, чтобы обеспечить сходимость всего интеграла. Например, в интеграле

сингулярности, отвечающие пределам , или , или интегрируемы, одиако интегрирование по он приводит к расходящемуся интегралу

Мы не будем воспроизводить здесь утомительного доказательства того, что в случае интегралов Фейнмана таких явлений не возникает. Как и в разд.

8.1.4, необходимо разбить область интегрирования на секторы и воспользоваться свойствами однородности параметрических функций.

В заключение этого длинного и технически сложного анализа вновь приведем формулировку важной теоремы Боголюбова — Параскжа — Хеппа. Операция вычитания, описываемая соотношениями (8.45), (8.49) или (8.57), дает абсолютно сходящийся интеграл и определяет аналитическую функцию от импульсов в евклидовой области и обобщенную функцию раниченного роста в пространстве Минковского.