10.3.2. Вычисление в порядке а

Анализируя проблему сверхтонкого расщепления, мы имеем дело со сферически-симметричными состояниями. Теперь, когда нам известно достаточно точное решение невозмущенного уравнения (10.92) или (10.93). можно вычислить сдвиг энергии.

В низшем порядке он состоит из двух вкладов:

где

Включая в рассмотрение радиационные поправки, мы намереваемся получить в порядке тогда как ведущий член имеет порядок . Желательно полому найти подходящее приближение для мгновенной волновой функции являющейся решением уравнения (10 92) или (10 93) Напомним, что соответствующая волновая функция Шредингера, удовлетворяющая уравнению

    (10.110)

т. е. при энергии Е, заданной в наинизшем приближении (10.83), и со, разложенной до порядка равна

здесь - значение волновой функции в начале координат в конфигурационном пространстве:

    (10.112)

Если данное выражение [умноженное на произведение двух спиноров в состоянии покоя, т. е. на форму которая не будет выписываться явно] подставить в (10 96), то мы получим приближение, которое является достаточным для наших целей

Величина здесь определяется выражением (10.83). Следовательно, с требуемой степенью точности можно написать

    (10.114)

Выражение, стоящее в угловых скобках, обозначает среднее значение в состоянии, описываемом произведением спиноров в покое. Перед интегралом в (10.114) имеется зависимость Следовательно, члены, которые нам предстоит вычислить, могут возникнуть лишь благодаря вкладам в интеграл порядка . Ясно, что из-за присутствия в знаменателе величины главный член определяется областью малых и что множитель вида или будет увеличивать степень величины а перед интегралом на единицу. В выражение для среднего значения входят запаздывающее кулоновское взаимодействие и взаимодействие Б рейта . В первом с относительной ошибкой порядка а? можно заменить на сокращая тем самым фотонный знаменатель. Затем можно выполнить интегрирование по и показать, что в числителе члены, содержащие зависимость от спина, включают в себя трехмерные импульсы в четвертой степени. Следовательно, в порядке этими членами можно пренебречь.

Перейдем далее к рассмотрению взаимодействия Брейта . В этом случае с помощью фурье-преобразования волновых функций удобно ввести относительное время. Перепишем часть интеграла по отвечающую взаимодействию Брейта, в виде

    (10.115)

где

    (10.116)

В этой сумме единственный вклад будет давать знаменатель, соответствующий поскольку и в интегрировании, которое предстоит выполнить, доминирует область малых Если бы главный вклад, который мы ищем, имел порядок то достаточно было бы удержать множитель при проекторе на положительные энергии Однако, чтобы получить следующую поправку, необходимо использовать полное выражение. К счастью, вклады порядка можно опустить Это является следствием того, что они дают поправки относительного порядка при условии, что связано с фактором, обеспечивающим

ультрафиолетовую сходимость. Заменяя всюду, где это возможно, на получаем для удовлетворительное приближение вида

    (10.117)

Применяя то же правило, что и прежде, и удерживая в матричном элементе только член, ответственный за сверхтонкое расщепление, находим

Поскольку оставшаяся часть интеграла инвариантна относительно трехмерных вращений, мы можем заменить правую часть на выражение Подставляя эти выражения в (10.115) и интегрируя результат по t, получаем

Интеграл легко вычислить, замыкая контур в верхней полуплоскости, что дает

    (10.118)

Последний член можно опустить, поскольку интеграл сходится, если в обоих знаменателях положить Используем тождество и учтем симметрию интеграла. Это позволит нам отбросить в знаменателях одно из таким образом, имеем

Производя замены и удерживая основной вклад порядка , получаем простой интеграл

Первый интеграл в (10.118) дает главный вклад Запишем его в виде

Здесь нельзя непосредственно применить тот же метод, которым мы пользовались выше. В противном случае благодаря энергетическому знаменателю возникла бы дополнительная инфракрасная расходимость. Чтобы преодолеть эту трудность, введем искусственным образом массу фотона заменяя в знаменателе на Если масса . такова, что можно действовать, как и прежде. Оставшийся интеграл нетрудно вычислить, и мы получаем

Объединяя полученные нами результаты, имеем

    (10.119)

Вклад порядка согласуется, очевидно, с первоначальной оценкой. Следующая поправка содержит ложную инфракрасную расходимость, обусловленную нашим способом оценки интегралов (эта оценка является правильной, если выбрать, как указано выше). Когда будут собраны все величины одного порядка, то члены вида сократятся (ниже мы убедимся, что они действительно сокращаются)

РИС. 10 7. Обмен во втором порядке, а — запаздывающее взаимодействие во втором порядке, б — перекрестный обмен фотонами Штриховые линии соответствуют мгновенному обмену, ломаные линии — запаздывежшему обмену, а волнистые линии — ковариантному фотонному пропагагору

Вместо того чтобы переходить непосредственно к вычислению аннигиляционного вклада, рассмотрим снова эффекты второго порядка и тем самым продемонстрируем предсказанное сокращение. Однако неразумно вычислять эффект второго порядка от потенциала не вводя поправок к ядру Бете — Солпитера, обусловленных перекрестным обменом двумя фотонами (рис. 10.7, б), обеспечивающим калибровочную инвариантность Обозначим сумму этих вкладов через Применяя выражение (10.108), произведем дальнейшее упрощение. Заметим, что в это выражение вместо полного входит свободный пропагатор

электрон-позитронной пары. На рис. 10.7, а это сводится к пренебрежению вкладом мгновенного обмена, линии которого заключены между линиями, соответствующими -взаимодействию. В том же духе вместо К (и К) можно подставить его нулевое приближение, т. е. значение волновой функции в конфигурационном пространстве в нуле:

Короче говоря, мы имеем

Второй член, очевидно, описывает перекрестный фотонный обмен.

Здесь через со обозначена величина , а четырехимпульс . Мы перейдем теперь к матричной алгебре, учитывая тот факт, что можно вычислить сферическое среднее по к Таким образом, часть, дающая вклад в расщепление, запишется в виде

В результате мы приходим к выражению

Восстановим теперь массу фотона и применим ту же технику, что и выше; тогда

Происхождение инфракрасной расходимости связано здесь с использованием свободного двухчастичного пропагатора, однако, как и ожидалось, это приближение оправданно, поскольку члены входящие в (10.119) и (10.121), сокращаются.

При учете радиационных поправок второго порядка вершины и потенциал изменяются за счет поляризации вакуума. Эта поправка к не влияет на синглет-триплетное расщепление в порядке поскольку они вносят изменения на малых расстояниях, тогда как изменение вершинных функций можно учесть, включив аномальные магнитные моменты электрона и позитрона, т. е. умножив главный член в (10.119) на Таким образом, в требуемом порядке имеем

Обратимся теперь к аннигиляционной части определяемой выражением (10.109), в котором замена на была обоснована для данного расчета Здесь мы сталкиваемся с новой трудностью, поскольку при введении кулоновской волновой функции необходимо учитывать входящую в нее в скрытой форме часть перенормировки заряда в вершине. Это ясно показано на рис. 10.8.

РИС. 10.8, Аннигиляционные диаграммы, а — член низшего порядка; б — вклад второго порядка от перекрестного члена .

Поскольку потенциал, связанный с однофотонным обменом, разбит на части нековариантным образом, вычитания следует проводить с осторожностью. Для того чтобы восстановить ковариантность процедуры, необходимо включить в рассмотрение члены второго порядка При этом фотонный пропагатор дополняется до ковариантного Фактически то, что в данном приближении сдвиг энергии во втором порядке определяется свободным двухчастичным пропагатором, означает, что оператор стоит непосредственно перед или после аннигиляционной вершины. Разумеется, главный вклад порядка нечувствителен к этому эффекту. Таким образом, объединяя непосредственно

находим

Заметим, что на этот раз мы удержали в полный двухчастичный свободный пропагатор, в то время как по-прежнему считается, что содержит произведение двухкомпонентных спиноров, описывающее поляризацию состояния, и фигурирует поэтому как матрица под знаком . В выражении для мы аппроксимировали кулоновскую волновую функцию ее значением в начале координат в импульсном пространстве и использовали инфракрасное обрезание Перенормировка вершины проводится, как и в гл. 7 (см. т. 1), посредством вычитания аналогичного выражения с большой фотонной массой и использования константы перенормировки в калибровке Фейнмана, вычисленной тем же методом, что и в (7.34):

В разд. 10.3.1 уже отмечалось, что вклад в расщепление уровней дают только пространственно-подобные значения поляризации (индекс ) виртуального фотона в аннигиляционном. Кроме того, матрица зарядового сопряжения

является нечетной в употребляемом нами представлении, вследствие чего

следует считать равным величине

Непосредственное (хотя и утомительное) вычисление с учетом этого замечания дает

Для того чтобы учесть радиационную поправку порядка а, связанную с поляризацией вакуума, записанное выше выражение следует еще умножить на величину . В данном формализме эту поправку следует учитывать, начиная с члена второго порядка

    (10.126)

Это дает дополнительный вклад

    (10.127)

Последний элемент, который необходимо учесть для решения нашей задачи — это член, отвечающий двухфотонной аннигиляции, мнимая часть которого (со знаком минус) равна половине ширины синглетного уровня (рис. 10.9).

РИС. 10.9. Диаграммы двухфотонной аннигиляции.

Выражение для него определяется путем добавления нового члена к ядру Бете—Солпитера. Лучше всего вернуться к уравнению (10.84) и в качестве приближения для волновой функции использовать ее нерелятивистское значение в нуле. Это дает главный эффект порядка в зарядово-четном канале. Для того чтобы проследить за различными коэффициентами, проще использовать релятивистские обозначения, в которых

являются спинорами в системе покоя:

Вычисляя интеграл и спинорный матричный элемент, получаем коэффициент, пропорциональный проектору на синглетное состояние:

    (10.129)

Мнимая часть этого коэффициента дает значение ширины определяемой выражением (5.128) в т. 1.

Мы имеем теперь полное выражение в порядке для сверхтонкого расщепления уровней позитрония. Беря выражения (10.119), (10.121) и (10.122) для обменного канала, а также (10.125), (10.127) и (10.129) для аннигиляционного канала и вычитая соответствующие значения в состояниях , приходим к формуле Карплуса и Клейна:

    (10.130)

Это значение все еще не является достаточным, чтобы можно было производить сравнение с результатом эксперименте) Читатель может оцеышь усилия, необходимые для извлечения поправок порядка Трудность частично связана с необходимостью последовательного учеы эффектов отдачи, т. е. правильного описания релятивистских кулоьовских волновых функций, что фактически приводит к членам порядка . Остальные эффекты, такие, как поляризация вакуума в обменном канале, также дают вклад в этот член, причем поправка имеет вид . Последнее теоретическое значение коэффициента В, сообщенное Лепажем в 1977 г., равно Учитывая это значение в (10 130), получаем теоретическое значение сверхтонкого расщепления МГц, которое можно сравнить со значениями, приведенными в (10 79).

Формализм Пете—Солпитера можно также применить для получения радиационных поправок к ширинам распада, а также к другим системам, таким, как атом водорода. Читатель может в качестве упражнения получить в рамках

данного формализма возбужденный спектр позитрония с точностью до :

Каким образом это можно сравнить со значением триплетного расщепления (10.80)?