12.5.2. Массивная калибровочная теория

Является ли перенормируемой калибровочная теория, в которую массовые члены вводя ген изначально?

В случае электродинамики мы имеем вполне благоприятную ситуацию. После разделения калибровочного поля на поперечную и продольную компоненты продольная часть , которая обусловливает плохое поведение пропагатора, не дает вклада

в -матрицу. Это является результатом того, что продольная и поперечная компоненты не взаимодействуют друг с другом и, кроме того, поле связано с сохраняющимся током. В неабелевой теории ни одно из этих свойств не выполняется. Продольная и поперечная компоненты поля в ней действительно взаимодействуют, а ток, с которым связано калибровочное поле, не сохраняется. С другой стороны, непредвиденные сокращения расходимостей на однопетлевом уровне делают теорию похожей на перенормируемую. Этим объясняется, почему потребовался определенный период времени, чтобы достигнуть единодушия в мнении, что такая теория неперенормируема Выход из этой неприятной ситуации состоит в том, чтобы обратиться к механизму спонтанного нарушения симметрии, который мы рассмотрим в разд. 12.5 3

Наша цель состоит в том, чтобы построить перенормируемую теорию при условии, что физическими состояниями должны быть только массивные векторные поля. Если ввести вспомогательные поля, такие, как в методе Щтюкельберга для электромагнитного поля, то необходимо будет удостовериться в том, что для каждого массивного векторного бозона вклад в условие унитарности дают лишь три физические степени свободы. В силу теоремы эквивалентности это требование будет выполнено в сформулированном ниже методе, в котором в целях улучшения поведения пропагатора континуальный интеграл подвергается локольным заменам переменных. Таким образом, рассмотрим производящий функционал

    (12.186)

в котором, как и выше, применяются матричные обозначения:

    (12.187)

Каноническое квантование может вызвать затруднение, поскольку Однако присутствие массового члена гарантирует существование пропагатора и, следовательно, состоятельность приведенного выше континуальчого интеграла в рамках теории возмущений. Операция Фаддеева — Попова не является необходимой, тем не менее выполним ее, чтобы улучшить поведение пропагатора. Выберем, как и в разд. 12.2.2, калибровочное условие в виде

и вставим в множитель

Тогда выражение (12 186) примет вид

В противоположность случаю безмассовой теории лагранжиан X не является теперь инвариантным при калибровочном преобразовании . Если параметризовать функцию следующим образом.

то легко показать, что

где через мы обозначили формальный ряд

общий член которого имеет скобок. Матрица S не изменится, если заменить источник на Произведя замену переменных и вычислив гауссов интеграл по С, новый производящий функционал можно записать в виде

    (12.190)

Входящий в него лагранжиан включает в себя поле духи Фаддеева—Попова и новое поле с обычными предписаниями относительно коммутации:

    (12.191)

Если то поле исчезает из лагранжиана, а интегрирование по дает (бесконечный) фактор, который не вносит вклада в

Удобно выбрать калибровку Ландау чтобы вычислить векторный пропагатор — Пропагаторы ведут себя как Условная степень расходимости -петлевой диаграммы дается выражением

где — число вершин типа -число производных поля в такой вершине. Отсюда для сильносвязной диаграммы с Е внешними линиями (среди которых нет линии l) имеем

    (12.192)

что следует сравнить с получаемой в первоначальной теории с лагранжианом (12.187).

Мы видим, что в абелевой теории, в которой поля не связаны с векторным полем. Мы в точности воспроизвели результат, полученный в гл. 8, а именно что массивная электродинамика является перенормируемой по подсчету степеней.

В неабелевом случае, если мы ограничимся однопетлевым приближением, выражение (12.192) дает же самую условную степень расходимости, что и в перенормируемой теории, т. е. . В этом порядке эффективный лагранжиан для диаграмм без внешних линий запишется в калибровке Ландау следующим образом:

    (12.193)

Интегралы по являются гауссовыми и могут быть вычислены. Первый из них дает в то время как второй Следовательно, в этом порядке достаточно ввести едино венное вспомогательное поле при условии, что каждой замкнутой духовой петле сопоставляется множитель — 1/2. Сравнивая этот множитель, —1/2, с множителем —1, присутствующим в безмассовом случае, находим, что предел должен быть сингулярным. В разд. 12.3 мы показали, что в бесмассовом случае сохранение калибровочной инвариантности обеспечивалось духовым вкладом (с множителем —1).

РИС. 12.11. Диаграмма с расходимостью четвертой степени в массивной калибровочной теории. Пунктирные линии соответствуют пропагаторам вспомогательного поля

Таким образом, можно ожидать, что указанное выше изменение предписаний приводит к модификации контрчленов. Например, это вызывает перенормировки массового или калибровочного члена и (что более существенно) возникновение новых четырехточечных связей Следовательно, даже если теория выглядит перенормируемой в этом порядке, контрчлены теряют симметрию и при рассмотрении высших порядков возникают серьезные трудности. В частности, диаграмма, изображенная на рис 12.11, в соответствии с формулой (12.192) имеет расходимость четвертого порядка: .

Таким образом, мы приходим к заключению, что, несмотря на сокращение расходимостей, массивная калибровочная теория является неперенормируемой.