12.3.2. Двухточечная функция

Разлагая мы получаем три вклада в двухточечную функцию (рис. 12.1):

    (12.108)

В последнем следе в первых фигурных скобках аргументом является k, а во вторых — величина . С целью сокращения записи введены тензорные обозначения

РИС. 12.1. Однопетлевые вклады в собственную энергию векторного поля. Штриховые линии соответствуют пропагаторам духов.

Временные компоненты импульсов и векторных йолей подвергнуты повороту Вика:

С целью сохранения калибровочной инвариантности мы применяем размерную регуляризацию, а меру обозначаем . Следует заметить, что вышеприведенное выражение можно также получить непосредственно с помощью правил Фейнмана (12.91) и (12.92).

В гл 8 мы показали, что в рамках размерной регуляризации вполне разумно считать, что в правой части выражения (12.108) второй интеграл обращается в нуль тождественно. Вклад духов,

т. е. первый член в правой части выражения (12.108), нетрудно выразить через функции Эйлера:

    (12.109)

После утомительных алгебраических преобразований полная двухточечная функция запишется в виде

    (12.110)

В этих выражениях функцию следует рассматривать как матрицу в присоединенном представлении, пропорциональную единичной матрице.

Вклад духов, определяемый выражением (12.109), играет решающую роль для достижения поперечности функции (12.110) по импульсу к, поскольку вклады по отдельности не удовлетворяют этому условию. Выражение (12.110) удобно для устранения части, расходящейся при . Следуя рецепту, предлагаемому в гл. 8, величину в действительности следовало бы написать как где -произвольный массовый масштаб. Таким образом, мы имеем

    (12.111)

где постоянные члены (т. е. не зависящие от k, но зависящие от ) не были вычислены. Это выражение можно переписать в эквивалентном виде, расписав явным образом групповые индексы и перейдя обратно в пространство Минковского. Двухточечная сильносвязная функция для записывается в виде

    (12.112)

Теперь ясно, что расходящуюся часть можно устранить, вводя контрчлен:

    (12.113)

где

В этом порядке член можно считать соответствующим члену вида в обычной регуляризации. Константа перенормировки волновой функции зависит от калибровки. Это свойство можно объяснить тем, что неабелевы калибровочные поля играют также роль заряженных полей. Фундаментальное следствие поперечности функции (12.110) состоит в том, что теперь нет необходимости в контрчленах типа или

В выражении (12.110) расходящиеся члены определяются полюсами Г-функции. Однако, если вычисления производятся каким либо иным способом, такие сингулярности могут возникать у В-функции. Это отражает тот факт, что в безмассовой теории теряется различие между ультрафиолетовой и инфракрасной расходимостями. Например, в выражении для член, стоящий под интегралом и пропорциональный имеет вид

и в рамках размерной регуляризации приводит к интегралу, конечному в ультрафиолетовом пределе, но расходящемуся в инфракрасном

Однако после замены переменных этот интеграл выглядит расходящимся в ультрафиолетовой области и сходящимся в инфракрасной;

Разумеется, эти выражения совпадают, однако, когда проводится разложение вблизи d — A, необходимо выделить все сингулярные члены.