8.2.6. Составные операторы

Функции Грина, рассматриваемые до сих пор, включали только элементарные поля, т. е. динамические переменные, входящие в лагранжиан. Процедура перенормировки, выполняемая либо с помощью вычислительной -операции Боголюбова, либо с помощью введения контрчленов, распространяется на более широкий класс функций, включающих составные поля Под составными полями мы подразумеваем локальные мономы операторов поля и их производных Прототипом этих операторов является электромагнитный ток . Составные поля играют важную роль во многих построениях.

Ради простоты будем рассматривать снова лишь скалярную -теорию. Составные операторы имеют вид и т. д., а также если мы строим вектороподобные и тензороподобные операторы При подсчете степени расходимости эти поля имеют, очевидно, размерности соответственно. Чтобы проводить вычисления с функциями Грина, включающими в себя вставки этих операторов удобно добавить источники связанные с ними в действии Следовательно, эти новые функции будут определяться выражением

Связные функции Грина определяются с помощью логарифма величины Z, как в (6 71) (см т. 1). Преобразование Лежандра, введенное в гл. 6 (т. 1), выполненное только над источником будет задавать сильносвязные, т. е. одночастично-неприводимые функции, но с произвольным числом -вставок. Если нас интересует конечное число вставок, то мы дифференцируем конечное число раз по х, и затем полагаем

Если мы рассмотрим диаграмму с N вставками операторов размерности то простое применение соотношения (8.13в) показывает, что новая условная степень расходимости со отличается от соответствующей степени в отсутствие вставок на величину

Вставки операторов степени, меньшей или равной четырем, в условно сходящуюся диаграмму сохраняют сходимость, тогда как вставки со степенью, большей четырех, ухудшают степень расходимости. Тем не менее для любого (конечного) числа вставок составных операторов существует рецепт вычитания или, что эквивалентно, построения контрчленов, который позволяет сделать сильносвязные функции Грина конечными Например, предположим, что двухточечная (два внешних ) функция

является условно расходящейся со степенью Существует локальный контрчлен, квадратичный по и пропорциональный с полиномом производных степени, меньшей или равной . Очевидно, что этот коигрчлен будет давать вклад только в функцию (8 64). Проиллюстрируем это на простых примерах

1. Вставка оператора . Этот оператор имеет размерность и, следовательно, его вставка улучшает сходимость. Имеются две условно расходящиеся сильносвязные функции с фвставками Эти функции представлены на рис. 8.9. Обеим соответствует

РИС. 8.9. Расходящиеся диаграммы со вставками

Первой мы сопоставляем контрчлен, квадратичный по но не зависящий от второй нужно сопоставить контрчлен вида . Таким образом, в лагранжиане первоначальный член заменяется на величину

где — расходящиеся скалярные величины. Определим величину через константу перенормировки Z оператора поля следующим образом:

Мы видим, что - точечные функции с одной -вставкой удовлетворяют соотношению

Здесь q — импульс, входящий в диаграмму в -вершине. Мы видим, что перенормируется мультипликативно, как и

с помощью константы перенормировки волнового оператора Вставка нескольких операторов является непосредственным обобщением соотношения (8.65):

где последний член учитывает вакуумные диаграммы представленные на рис. 8.9, а.

Разумеется, чтобы полностью определить эти новые вычитания, требуются новые условия нормировки. Например, в низшем порядке можно наложить следующие условия при нулевом импульсе:

Перенормировка -оператора не является независимой от перенормировки массы. Добавление члена (1/2) в лагранжиан можно рассматривать как зависящее от х изменение массы: Поэтому мы можем написать соотношение

где дифференцирование выполняется при фиксированном Следовательно, если вычитания производятся при нулевом импульсе, как в (8.36) и (8.67), можно сделать вывод, что

2. Вставка оператора Вставка операторов размерности четыре не влияет на степень расходимости. Контрчлены являются линейными функциями источника т. е. контрчлены, соответствующие отдельной вставке, будут комбинациями величин (две последние величины, будучи проинтегрированы по эквивалентны, но, вообще говоря, они отличаются друг от друга). Эти операторы фактически перемешиваются перенормировкой. Поэтому оператор нельзя рассматривать независимо от остальных. В явном виде обобщение (8.65) записывается следующим образом:

Это равносильно утверждению, что перенормированная -вставка требует добавления в лагранжиан следующего источника:

где определяется после выбора подходящих условий нормировки. Наконец, нам известно из предыдущего анализа, что оператор является мультипликативно перенормируемым, а это означает, что при

Вообще говоря, в перенормируемой теории полная система составных операторов О, - размерности, меньшей или равной данному числу D, и с одинаковыми квантовыми числами мультипликативно перенормируема в рассмотренной выше матричной форме, по крайней мере пока мы имеем дело с одной вставкой. Кроме того, если размерность оператора меньше размерности оператора (матрица не является симметричной), Оба этих результата вытекают с очевидностью из подсчета степеней (8.63).

В качестве упражнения читатель может изучить соотношение между для операторов размерности четыре и голыми константами . Мы рекомендуем также провести анализ перенормировки операторов размерности шесть, или одного из тензорных операторов, например теизора энергии-импульса.

В некоторых случаях может оказаться интересным приписать какому-либо оператору размерность больше той, которая следует из непосредственного подсчета, и перенормировать его в соответствии с Например, если, вместо того чтобы рассматривать как оператор размерности два, мы припишем ему размерность четыре, то потребуется больше вычитаний (и условий нормировки). Новый (или «жесткий») оператор, обозначаемый чтобы отличить его от старого (или «мягкой») оператора должен рассматриваться на равной основе с . В частности, теперь отличен от нуля. Это обобщение, полезное в некоторых приложениях, было введено Циммерманом.

В случае нескольких вставок, пользуясь правилом (8.63) как нитью Ариадны, мы находим, что размерность контрчленов (мультилинейных относительно источников) сохраняется равной четырем до тех пор, пока исходные операторы 0,- имеют размерность четыре. Однако размерность контрчленов возрастает, когда размерность становится больше четырех. Например, для двойной вставки операторов коитрчлены снова должны быть типа в то время как вставка операторов требует, чтобы все операторы имели размерность шесть, а двойная вставка приводит к контрчленам размерности восемь!