12.1.4. Калибровочная инвариантность и дополнительные связи
Уравнений движения недостаточно для того, чтобы можно было вычислить поле 
при заданном наборе условий Коши в момент времени 
. Два решения, сводящиеся одно к другому посредством калибровочного преобразования 
такого, что 
при 
удовлетворяют одним и тем же условиям Коши, но могут различаться для моментов времени 
Поэтому калибровочный произвол следует ограничить с помощью дополнительных условий, не влияющих на калибровочно-инвариантные физические наблюдаемые. Последующее рассмотрение, основанное на работах Фаддеева, приведет нас к функциональному квантованию, которое кратко обсуждалось в гл. 9.
Ограничимся рассмотрением простой компактной группы Ли. Действие, как и в абелевом случае, первоначально записывается через независимые переменные F и А:
(12.51)
Варьируя по F и А, получаем соответственно уравнения (12.16) и (12.29). Введем обозначения Е и В в соответствии с формулами (12.31) и, чтобы исключить последнюю величину, используем не зависящее от времени соотношение между А и В. В дальнейшем для В будем применять обозначение В (А). После интегрирования по частям имеем
(12.52)
Поскольку член 
есть не что иное, как плотность энергии, мы имеем типичную проблему системы со связями. Роль канонических переменных 
и q играют здесь 
Переменные 
играют роль множителей Лагранжа для связей
(12.53)
и являются составляющими уравнений движения (12.29) при v = 0. Вследствие диагональности метрики (12.26) (что позволяет задать полностью антисимметричные структурные константы 
) одновременные скобки Пуассона можно записать следующим образом:
(12.54)
Нам понадобятся также выражения для скобок 
причем
(12.55)
Следовательно, мы имеем выражения
в которых 
и правила перестановок учитываются как для производных, так и для члементов алгебры Ли. С другой стороны, не зависящие от времени инфинитезимальные калибровочные преобразования векторов Е и А запишутся в виде
Следовательно, в гамильтоновом формализме Г являются генераторами не зависящих от времени калибровочных преобразований. Не производя каких-либо дальнейших выкладок, приходим к заключению, что
При этом уравнения движения можно записать в виде
а уравнения для связей запишутся следующим образом:
(12.59)
Наблюдаемые являются функционалами от величин Е и А, ограниченных на многообразии (12.59), так что скобки Пуассона величины Г с Е и А на этом многообразии обращаются в нуль. Следовательно, такие функционалы оказываются инвариантными относительно не зависящих от времени калибровочных преобразований Именно такой случай реализуется, например, для плотности гамильтониана.
