13.5.2. Доминирующие и субдоминантные операторы, смешивание операторов и законы сохранения

В простейшем примере, а именно для произведения , операторы разложения Вилсона представляют собой локальные мономыполей и их производных, совместимые со свойствами симметрии. Например, в теории, инвариантной относительно замены Ф на — первые из недоминирующих операторов имеют каноническую размерность, равную четырем:

    (13.154)

Здесь обозначает используемую выше функцию Число операторов растет по мере увеличения канонической размерности. Но даже тогда, когда рассматриваются лишь первые недоминирующие члены, возникают новые трудности. Напомним, что в результате перенормировки происходит смешивание операторов, имеющих одну и ту же каноническую размерность и одинаковые квантовые числа. Кроме того, в этом случае перенормировка не будет в точности мультипликативной, поскольку вставка оператора размерности d требует введения контрчленов размерности, меньшей или равной d. Чтобы в отделить -поправки от членов, дающих вклад в необходимо принять специальное соглашение. В безмассовой теории, в которой подобные проблемы не возникают, необходимо рассмотреть только мультипликативную (в матричном смысле) перенормировку этих операторов. В этом случае доминирующий вклад в определяется уравнением

где - транспонированная матрица аномальных размерностей операторов смешивающихся при перенормировке [см. формулу (13.75)]. При наличии ультрафиолетовой фиксированной точки наблюдаемые аномальные размерности получаются диагонализацией матрицы . В асимптотически свободной теории аналогичную диагонализацию нужно проводить для матрицы представляющей собой обобщение множителя с из (13.152).

Между операторами могут существовать связи, обусловленные выбором конкретной динамической схемы. В качестве примера можно привести уравнения движения.

Неперенормированная связная функция Грина регуляризованной -теории удовлетворяет в евклидовом пространстве уравнениям движения

где оператор является обратным по отношению к регуляризованному пропагатору. Продифференцируем по и перейдем к пределу у. В результате получим тождество, из которого для сильносвязных функций Грина следует, что

    (13.157)

В перенормированном виде это соотношение приводит к смешиванию между операторами с размерностью два и четыре. Как следствие можно записать такие функции , для которых справедливо следующее тождество:

В безмассовой теории член, дающий доминирующий вклад, и пропорциональный b (g), обращается в нуль. Применяя в обеих частях равенства (13.158) уравнение Каллана — Симанзика, заключаем, что матрица для операторов размерности четыре должна иметь нулевое собственное значение.

Аналогичное явление возникает, когда операторы (или их комбинация) являются генераторами непрерывных симметрий, сохраняющимися токами, тензором энергии-импульса и т. п. Соответствующие аномальные размерности обращаются в нуль. Мы уже сталкивались с такой ситуацией при изучении электродинамики, в которой это имело своим следствием наличие одного единственного коэффициента в уравнении (13.28) для инвариантного заряда. С более общей ситуацией приходится иметь дело в -модели, в которой имеет место мягкое нарушение симметрии, т. е. обусловленное членами в лагранжиане, имеющими размерность меньше четырех. Напомним полученный Симанзиком результат, гласящий, что контрчлены, имеющие размерность больше d, всегда можно сделать симметричными. Отсюда, в частности, следует, что перенормировка волновой функции не нарушает симметрии.

Пусть при таких обстоятельствах — неперенормированный ток (с размерностью три), a - его дивергенция. Предположим, что размерность последней меньше четырех [см. выражение (11.3)]:

где - голое поле, являющееся вектором во внутреннем пространстве, а соответствует матричному представлению генератора.

Если предположить, что аномалии отсутствуют, то тождество Уорда

    (13.160)

в перенормированной форме принимает следующий вид:

    (13.161)

Здесь мы учли тот факт, что перенормировка волновой функции не нарушает симметрию, т. е. она является одной и той же для любой компоненты оператора . Поскольку перенормированные функции конечны, отсюда следует, что также конечно, и при надлежащей нормировке, согласующейся с (13.159), получаем

    (13.162)

Отсюда следует, что точные или мягко нарушенные симметрии соответствуют токам, для которых

    (13.163)

Чтобы размерность дивергенции D была меньше четырех, она должна иметь явную зависимость от массовых параметров теории. Например, в теории с фермионами, в которой киральная инвариантность нарушается массовым членом с размерностью три, сохранение аксиального тока является мягко нарушенным. В отсутствие аномалий

    (13.164)

Если придерживаться не зависящего от массы рецепта перенормировки, то зависит от фактора растяжения X в соответствии с (13.96). Пусть - аномальная размерность оператора . Согласно (13.163), мы можем записать

Явная зависимость от привела к появлению дополнительного члена причем следует интерпретировать как аномальную размерность оператора равную, таким образом, аномальной

размерности оператора

Этот результат не должен вызывать удивления, поскольку обе аномальные размерности можно вычислять в киральном пределе, в котором они, очевидно, совпадают.

Применим эти идеи к адронным симметриям и их связи с эффективным лагранжианом слабых нелентонных взаимодействий.

Рассмотрим модель сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий, основанную на калибровочной группе следуя линии, намеченной в конце гл. 12. Группа обычно является группой цвета [например, ], спонтанно нарушена до группы фазовых преобразований соответствующей электрическому заряду.

В нулевом порядке по а и лагранжиан сильных взаимодействий запишется в виде

где M — массовая матрица, наличие которой частично или целиком связано с нарушением Вайнберг показал, что соответствующее переопределение полей в любом случае позволяет привести М к диагональной вещественной форме, не содержащей членов с в то время как кинетический член остается инвариантным.

РИС. 13.15. Вклады низшего порядка в эффективный нелешонный лагранжиан. а — калибровочный бозон; б — мезон Хиггса; в — вклад диаграммы типа головастик.

Иными словами, в нулевом порядке по а четность и странность естественным образом сохраняются, тогда как изотопическая симметрия требует дополнительной гипотезы для d- и -кварков. Покажем, что в порядке а четность и странность сохраняются, а нарушаются они лишь в порядке

Чтобы проверить это, введем эффективный лагранжиан слабых нелептонных взаимодействий, основанный на вычислении процессов обмена в низшем порядке (рис. 13.15):

Только первый член, соответствующий обмену калибровочным бозоном, выписан явно. Два других члена соответствуют вкладу X связанному с обменом хиггсовсккм мезоном, и вакуумному среднему хиггсовских бозонов, приводящему к перенормировке массовой матрицы М Ожидается, что вклад хиггсовских бозонов имеет по крайней мере порядок а. где — адронная масса.

Что касается первого члена, то, если отвлечься от вклада, связанного с безмассовым фотоном, оставшиеся вклады, соответствующие обмену тяжелыми W- и -мезонами, можно проанализировать с помощью разложения произведения двух токов на малых расстояниях Доминирующий вклад порядка а приводит к дополнительной перенормировке массовой матрицы, тогда как недоминирующие вклады содержат множители Матрицу снова можно привести к диагональной вещественной форме. Короче говоря, в порядке а четность и странность, очевидно, все еще сохраняются. Однако этого нельзя сказать об изотопической инвариантности. Но даже в настоящее время все попытки получить абсолютные предсказания относительно величины предполагаемой электромагнитной разницы масс не имели реального успеха.

Разложением на малых расстояниях можно воспользоваться также для объяснения динамических правил отбора, наблюдаемых в нелептоппых слабых переходах, таких, как правило Доминирующий вклад обусловлен операторами с размерностью шесть, содержащими по четыре -мионных поля. Действительно, операторы размерности три приводят только к переопределению массовой матрицы, а вклад операторов с размерностью четыре может быть скомпенсирован перенормировкой волновой функции. Согласно вычислениям, проведенным Гайяр и Ли, а также Альтарелли и Майани, переходы с усилены по отношению к переходам с логарифмическим фактором принимающим значения порядка 5—7 в зависимости от используемой модели, тогда как наблюдаемое усиление характеризуется фактором 20 Обсуждение этих вопросов затрудняется отсутствием абсолютной нормировки матричных элементов рассматриваемых операторов.