11.3.3. Низкоэнергетические теоремы и правила сумм

Низкоэнергетические теоремы можно вывести с помощью алгебры токов и ЧСАТ. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в электродинамике. Поэтому мы начнем с изучения компто-новского рассеяния при низких энергиях

РИС. 11.10. Комптоновская амплитуда и борновские члены.

Для простоты амплитуду рассеяния фотонов запишем для бесспиновой мишени с единичным зарядом (рис. 11.10):

    (11.119)

Выбирая для удобства векторы поляризации так, что и учитывая лоренцеву инвариантность и инвариантность относительно обращения времени, можно записать амплитуду в общем виде:

    (11.120)

Здесь Р — средний импульс частицы мишени, Параметризация выбрана таким образом, что скалярные амплитуды А,

В, С и D свободны от кинематических сингулярностей. Из сохранения тока следует, что . Поэтому

В низкоэнергетическом пределе в амплитуды В, С и D основной вклад вносят динамические полюсные члены, определяемые борновскими членами с перенормированными вычетами. Элементарное вычисление приводит к следующему значению амплитуды А на пороге:

    (11.122)

Таким образом, в этом пределе без каких-либо приближений, связанных с теорией возмущений, сечение дается выражением

которое находится в согласии с классической оценкой, произведенной в гл 1 (т. 1) и вычислениями в низшем порядке теории возмущений (см. раздел 5.2.1 в т. 1). Впервые этот подход разработали Лоу, Гелл-Манн и Гольдбергер, которые, исходя из тех же предположений, для частиц-мишеней со спином 1/2 вычислили в комптоновской амплитуде следующий член, линейный по и k Амплитуда для рассеяния вперед имеет вид

    (11.124)

(здесь - полная энергия в лабораторной системе отсчета). Поляризации выбраны здесь так, что они имеют равные нулю временные компоненты. При этом низкоэнергетическая теорема записывается в виде соотношений

Амплитуда включает аномальную часть магнитного момента частицы-мишени (для протона ). Первое соотношение, конечно, эквивалентно соотношению (11.122). Это предсказание трудно проверить непосредственно. Лучше преобразовать его в правило сумм, как это предложили сделать Дрелл и Хирн. Используя безвычитательное дисперсионное соотношение для [соответствующее соотношение для требует по крайней мере

одно вычитание], можно написать

Здесь - полные сечения для циркулярно-поляризованных фотонов со спинами, соответственно параллельными или антипараллельными спину мишени Обмен в -канале, отвечающий амплитуде с переворотом спиральности, указывает на то, что интеграл от разности сечений с большой вероятностью является сходящимся, и тем самым подтверждается наше предположение о справедливости безвычитательного дисперсионного соотношения. Из последнего находим

    (11.126)

Для протонов левая часть этого соотношения равна в то время как, согласно данным при высоких энергиях, значение правой части находится в пределах

С помощью аналогичных методов вычислим амплитуды, включающие аксиальные токи Это позволит нам получить определенную информацию о пион-нуклонном рассеянии при низких энергиях Введем матричный элемент аксиального векторного тока между начальным нуклонным и конечным пион-нуклонным состояниями:

В соответствии с (11.117) этот матричный элемент связан с пион-нуклонной амплитудой Чтобы убедиться в этом, свернем обе части выражения (11.127) с и получим

Следовательно,

Если устремить к нулю, то левая часть обращается а нуль при условии, что не имеет в этой точке сингулярности.

Единственная сингулярность возникает из нуклонного полюса (рис. 11.11). Но в противоположность случаю комптоновского рассеяния эта сингулярность компенсируется тем, что в точке числитель обращается в нуль и при

Это приводит для экстраполированной амплитуды к условию совместности Адлера:

    (11.129)

Разумеется, такой предельный случай мягких пионов является нефизическим В альтернативном выводе соотношения (11.129) прямо полагают . Из условия выражение (11.129) получается посредством отделения пионного полюса от других сингулярностей.

РИС. 11.11. Вклад нуклонного полюса в матричный элемент

Если всерьез принять этот несколько нереальный мир с безмассовыми пионами, то для амплитуды можно написать тождество Уорда типа (11.89):

здесь Н — произвольное адронное состояние.

Отсюда следует, что

Мы использовали здесь алгебру токов и тот факт, что представляет собой изоспиновый ток, так что является изоспином адрона. В случае когда имеет двойной полюс при с вычетом, пропорциональным амплитуде -рассеяния на пороге:

    (11.132)

Следовательно, пороговое значение амплитуды (в реальном мире, когда дается выражением

    (11.133)

Обозначая через Т полный изоспин в -канале, можно получить соотношение

    (11.134)

Этот же результат можно записать по-другому в терминах -волновых длин рассеяния в различных изоспиновых каналах, определяемых как

    (11.135)

В случае пион-нуклонного рассеяния это дает значения

    (11.136)

которые удивительно хорошо согласуются с экспериментальными данными:

    (11.137)

Аналогичные вычисления, дающие хорошие результаты, можно выполнить для пион-пионного и пион-каонного рассеяния

Используя дисперсионные соотношения, можно представить эти низкоэнергетические теоремы также в виде правил сумм. Разложим амплитуду пион-нуклонного рассеяния на четную и нечетную части относительно преобразования кроссинг-симметрии (см. разд. 5.3.4 в т. 1):

    (11.138)

и возьмем в качестве переменных и переданный импульс t. Феноменологическое рассмотрение предсказывает следующее поведение этих амплитуд для больших v при t = 0:

Поэтому можно предположить, что удовлетворяет дисперсионному соотношению без вычитаний Правило сумм, выведенное ниже, позволяет проверить справедливость этого предположения Выделяя вклад нуклонного промежуточного состояния в полюсе дисперсионное соотношение для рассеяния вперед можно написать в виде

Используя общую формулу (11.133) и пренебрегая по сравнению с в знаменателе борновского члена, получаем на пороге

следующее значение:

Наконец, используя оптическую теорему, выразим через полные сечения и применим соотношение Гольдбергера — Треймана, чтобы заменить на GA/GV. Это приводит к правилу сумм Адлера—Вайсбергера:

    (11.141)

Согласие с экспериментом опять очень убедительное. Численная оценка дает для значения в пределах что согласуется со значением, полученным из -распада и равным 1,22 ±0,02.

Имеется внушительный список приложений алгебры токов и техники мягких пионов к слабым полулептонным и нелептонным распадам, для ознакомления с которыми мы рекомендуем читателю обратиться к соответствующей литературе.

В заключение заметим, что киральная симметрия является хорошим приближением в физике адронов Обобщение на не вполне законно из-за больших масс К- и -мезонов Гелл-Манч, и Реннер дали феноменологическую схему нарушения симметрии SU(3) X SU(3), записав эффективный гамильтониан сильных взаимодействий в виде

Здесь член ответственный за нарушение , должен был бы иметь вид

где преобразуется как скаляр относительно группы SU (3), а — как восьмая составляющая октета Феноменологический анализ показывает, что величина равна приблизительно , а не нулю. Это указывает на то, что лучшим приближением должна быть симметрия .