9.2.2. Эффективное действие и метод перевала

Мы определили производящий функционал для связных функций Грина следующим образом:

    (9.106)

а также ввели эффективное действие с помощью преобразования Лежандра

Чтобы вычислить величину заданную континуальным интегралом, в показателе экспоненты можно удержать квадратичную часть действия, разложить оставшуюся часть в ряд и применить теорему Вика (9.99), При этом делается предположение, что константа связи мала Несколько более общий способ рассуждений подсказывается самим функциональным представлением. Поскольку лишь гауссовы интегралы можно вычислить в замкнутой форме, идея состоит в том, чтобы использовать метод перевала или метод стационарной фазы (и пространстве Минковского) и тем самым выбрать наиболее подходящую точку, около которой следует произвести разложение в ряд. Малым параметром здесь

является постоянная Планка это становится очевидным, если выписать явно размерные величины, а действие заменить на . Следовательно, указанный выше метод является естественным аналогом квазиклассического приближения в квантовой механике и приводит к разложению в ряд по числу петель.

Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы найти вначале экстремальные значения показателя экспоненты в интеграле (9.98), т. е. поля удовлетворяющие классическому уравнению

    (9.108)

Будем предполагать, что при решение сводится к тривиальному решению так что по крайней мере в смысле мального разложения решение единственно. Функция Грина, которую следует использовать при решении уравнения (9.108), имеет фейнмановскую добавку

Предположение о том, что в отсутствие источника имеется только тривиальное решение, в ряде физически интересных случаев оказывается несправедливым. Для того чтобы получить правильную интерпретацию в таких крайних случаях, требуется провести детальный анализ

Вблизи экстремальной траектории произведем сдвиг переменной интегрирования удерживая в экспоненте квадратичные по полю члены, а члены более высокого порядка разложим в ряд теории возмущений, В силу условия стационарности (9,108) линейные члены отсутствуют, а, согласно условию нормировки, Таким образом, мы имеем

    (9.109)

Новая квадратичная часть дается выражением

    (9.110)

благодаря зависимости которого от мы получаем нетривиальное выражение для пропагатора Для того чтобы получить разложение по степеням А, переопределим поле следующим образом: результате находим

    (9.111)

Применяя здесь теорему Вика, мы видим, что остаются лишь полиномы четной степени по . В петлевом разложении встречаются поэтому только целые степени величины Из (9.111) следует, что ведущий член (порядка ) в разложении равен Вычислим следующий член. Интеграл от квадратичной части дает

    (9.112)

Как и в гл. 4 (см. т. 1), обозначения детерминантов операторов бесконечной размерности будем начинать с прописной буквы, а следов — со строчной. Обратный по отношению к оператор, вводимый на основании условия нормировки, был выбран равным Следовательно,

Поскольку детерминант можно записать в виде

    (9.113)

мы находим

    (9.114)

Чтобы получить нужно обратить соотношение

В соответствии с (9.114) и (9.108) поле определяется в главном порядке с точностью до поправок порядка k величиной Кроме того, поскольку стационарно при мы имеем . Наконец, чтобы получить Г, необходимо из вычесть Таким образом, получаем

    (9.115)

Смысл второго члена с точки зрения теории возмущений становится ясным, если его разложить следующим образом:

Данное выражение представляет собой сумму вкладов однопетлевых диаграмм, состоящих из пропагаторов вершин На рис. 9.4 это разложение изображено графически для случая, когда Заметим, что множитель стоящий перед каждым членом суммы, является фактором симметрии для соответствующей диаграммы ( отвечает вращениям, -отражению).

РИС. 9.4. Эффективный потенциал в однопетлевом приближении.

Аналогично в случае теории фактор 1/2 в учитывает симметрию между двумя внешними концами, входящими в каждую вершину

Это разложение можно провести во всех порядках Последующие члены в представляются связными диаграммами Фейнмана, соответствующими взаимодействию — а входящие в них пропагаторы получаются обращением ядра

Что касается то здесь, учитывая преобразование Лежандра, из вышеуказанных диаграмм нужно отобрать только одночасгично неприводимые и заменить всюду на произвольный аргумент Разумеется, в любом реальном вычислении мы сталкиваемся с ультрафиолетовыми расходимостями.

Таким образом, метод перевала или метод стационарной фазы дает изящный способ получения квазиклассического разложения по числу петель. Чтобы выйти за рамки теории возмущений, необходимо либо выполнить разложение около нетривиального экстремума, либо аппроксимировать континуальный интеграл совершенно иным способом

Рассмотрим скова величину Напомним, что разложение по порождает одночастично-неприводимые функции Грина. В физике частиц именно это свойство функционала является важным. Можно также подчеркнуть, что играет роль эффективного действия. Учитывая трансляционную инвариантность, мы можем найти разложение, включающее производные по полю все более высокого порядка:

В (9.116) первый член включает сумму по всем сильносвязным функциям при нулевом внешнем импульсе, второй член

включает все вторые производные в той же точке, и т. д. В принципе функция остается произвольной Однако, если нужно определить только , можно удовлетвориться вычислением при постоянном при условии, что расходящийся четырехмерный интеграл по х факторизуется однозначным образом.

В качестве примера вычислим с точностью до b, из соотношений (9.114) и (9.115) В общем случае можно записать

    (9.117)

Используя (9.114), вначале находим

    (9.118)

В детерминанте, входящем в (9.112), является теперь константой, а пропагатор диагонален в импульсном пространстве:

    (9-119)

Разумеется, это выражение не имеет смысла, до тех пор пока мы не выполним ультрафиолетовые вычитания. Для конкретности выберем потенциал в виде

Чтобы удовлетворить требованию о нормальном упорядочении, необходимо также добавить член вида . В противном случае нам пришлось бы включить диаграммы типа головастиков, отвечающие спариванию двух полей в одной вершине.

РИС. 9.5. Расходящиеся диаграммы в однопетлевом приближении.

Это единственная расходящаяся однопетлевая диаграмма для двухточечной функции (рис. 9.5, а); она дает квадратично-расходящийся вклад, пропорциональный в разложении

В этом порядке мы имеем также логарифмическую расходимость четырехточечной функции соответствующей диаграмме на рис. 9.5, б:

Более высокие степени величины отвечают сходящимся интегралам. Перенормировка приводит к контрчленам, необходимым, чтобы удовлетворить условиям

    (9.120)

а также к ограничениям на четырехточечную функцию, например на ее значение в симметричной точке S, лежащей на массовой поверхности, что придает этой функции смысл перенормированной константы связи:

    (9.121)

Эти условия являются полезными, когда мы имеем дело с каким-либо реальным приложением к задаче рассеяния. Однако они создают неудобства при вычислении величин, входящих в эффективное действие, разложенное в окрестности нулевых внешних импульсов.

С точностью до конечной перенормировки величины (9.120) и (9.121) можно заменить следующими:

    (9.122)

Чтобы подчеркнуть различие, мы ввели нкжний индекс «физ.» для массы и константы связи, отвечающим предыдущей нормировке

Достоинство соотношений (9.122) состоит в том, что их можно рассматривать как условия, накладываемые на эффективный перенормированный потенциал и функцию , а именно

    (9.123)

Из (9.118) следует, что эти требования, очевидно, выполнены в порядке Кроме того, с этой точностью мы имеем

    (9.124)

В выражениях для контрчлены типа сокращают соответствующие члены в высших порядках. Следовательно, правильный однопетлевой вклад в эффективный потенциал запишется в виде

На данном этапе целесообразно выполнить поворот Вика Обозначая через k соответствующий евклидов четырехимпульс, можно написать

Выполняя интегрирование и добавляя это выражение к члену нулевого порядка, определяемому выражением (9.118), получаем

Мы видим, что при больших квантовые поправки меняют поведение . Чтобы показать это яснее, полезно ввести новую систему нормировочных условий, позволяющую нам положить . Можно определить новую константу связи км, такую, что

Из (9.127) следует, что

Подставим эту величину в (9.127) и рассмотрим предельную безмассовую теорию, для которой

    (9.129)

Эта формула получена Коулменом и Вайнбергом. В выражении (9.127) нельзя положить непосредственно Это связано со структурой ультрафиолетовых вычитаний в (9.126), второе из которых, предназначенное для того, чтобы обеспечить выполнение условия вносит инфракрасную расходимость в пределе Чтобы определить безмассовую теорию, нужно выбрать произвольную, но не равную нулю точку вычитания Рассматриваемые отдельно Г-функции при нулевом импульсе,

определяемые разложением (9.127), сингулярны при Поведение при можно установить, используя тот факт, что размерность величины V равна четырем, так что доминирующие члены должны быть пропорциональны с точностью до логарифмов Заметим, что произвол в выборе точки М означает, что согласованное изменение М и км должно оставлять Кэфф инвариантным. Мы видим здесь проявление ренормализационной группы, которая будет рассмотрена ниже.

В теории в первом порядке разложения по петлям отсутствует перенормировка волновой функции. Тем не менее функция является нетривиальной в этом порядке, хотя она и не содержит логарифмов. Используя выражение для эффективного действия (9.115), можно показать, что эту функцию можно записать в виде

Предел нулевой массы можно получить, как и в (9.129). Вычисления были выполнены в высших порядках. Приведем здесь результаты, полученные до второго порядка, а также соответствующие диаграммы. Вводя обозначения

    (9.131)

получаем

Здесь постоянная, зависящая от условий нормировки, а А дается выражением

Рассматриваемое здесь эффективное действие аналогично лагранжиану Эйлера—Гейзенберга в электродинамике (разд. 4.3.4 в т. 1 настоящей книги). Мы предоставляем читателю более подробно разобрать эту аналогию

Для -матрицы существует разложение по степеням величины h, аналогичное разложению функций Грина. Читателю предлагается показать, что первые два члена разложения соответствующего ядра запишутся в виде

    (9.134)

где является решением уравнения

    (9.135)

с фейнмановскими граничными условиями; удовлетворяет также интегральному уравнению

    (9.136)

причем фас определяется формулой (9.85).

Можно дать более физическое определение эффективного действия. В частности, можно рассматривать как плотность энергии основного состояния при том ограничении, что среднее значение поля равно всюду. Это позволяет нам изучать возможные нестабильности системы (см. гл 11)