9.3. СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ

Ряд динамических систем можно описать с помощью наблюдаемых, подчиняющихся связям в фиксированный момент времени. В качестве известного примера мы можем сослаться на электродинамику. Такие системы нельзя квантовать непосредственно. Вскоре нам придется встретиться с более серьезными трудностями в случае неабелевых калибровочных теорий. Континуальное интегрирование представляет собой идеальную основу для описания таких систем, поскольку этот формализм тесно связан с классическим случаем, допускающим простую трактовку. Метод квантования требует исключения стольких пар канонически сопряженных переменных, сколько имеется связей. Последние должны удовлетворять соответствующим условиям совместимости, которые мы будем рассматривать ниже.

При первом чтении можно пропустить эти технические построения и вернуться к ним, когда будет рассматриваться конкретное применение теории калибровочных полей (гл. 12), в котором будет использоваться соотношение (9.159).

9.3.1. Общее рассмотрение

Пусть на классическую систему с степенями свободы вначале наложена единственная связь

    (9.137)

Обозначим -мерное многообразие в фазовом пространстве, характеризуемое условием (9 137), через С. Наши рассуждения будут носить локальный характер, т. е. будут относиться к окрестности точки, принадлежащей С. Кроме того, мы не будем делать различия между двумя функциями f и F, обращающимися в нуль на С, т. е. такими, что Пусть А представляет собой кольцо (дифференцируемых) функций, которые обращаются в нуль на С. Для функций будем использовать обозначение

Мы можем рассматривать связь как часть действия, используя зависящий от времени множитель Лагранжа Уравнения движения вытекают из условий стационарности для величины

    (9.138)

В число этих уравнений, наряду с уравнением (9.137), получающимся при варьировании X, входят также следующие уравнения:

Разумеется, многообразие С содержит слишком много переменных Естественное условие совместности состоит в том, что эволюция, описываемая системой (9.139), оставляет многообразие С инвариантным. С помощью скобок Пуассона это условие записывается следующим образом:

    (9.140)

Вообще говоря, скобка Пуассона любой с h принадлежит

    (9.141а)

Кольцо стабильно относительно скобочной операции Пуассона, поскольку оно имеет единственный генератор

    (9.141б)

Соотношения (9.141а) и (9.1416) означают, что это кольцо функций (но не обязательно его отдельный элемент) стабильно относительно эволюции (9.139). Пусть F — произвольный фиксированный элемент в . Определим отношение эквивалентности Е на С следующим образом. Рассмотрим поток, генерируемый функцией F в фазовом пространстве. В инфинитезимальной форме он описывается уравнениями

    (9.142)

Две точки на С эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одной и той же траектории потока (9.142). Это отношение эквивалентности Е имеет следующие свойства: 1) оно не зависит от выбора F в и 2) инвариантно относительно эволюции во времени.

В самом деле, мы видим, что если линия потока проходит через точку, принадлежащую С, то эта линия целиком находится в С. Кроме того, если F является каким-то другим элементом в то поскольку векторы, касательные к двум потокам, пропорциональны друг другу на С, что доказывает первое свойство. Из (9.141) следует, что гамильтониан h постоянен на линиях потока, принадлежащих С. Наконец, пусть G — произвольная функция, которая является постоянной вдоль линий потока (9.142), принадлежащих С, т. е. такая, что

    (9,143)

Ее временная эволюция в течение инфинитезимального интервала бодается выражением , причем что следует из тождества Якоби и условий (9.141а) и (9.143). Следовательно, функция является снова постоянной вдоль линий потока, что доказывает свойство 2

Таким образом, многообразие С в соответствии с Е расслаивается не зависящим от времени способом на систему классов эквивалентности. В свою очередь фактор-пространство можно рассматривать как фазовое пространство размерностью при условии, что функция удовлетворяет некоторым условиям регулярности. Все потоки вида (9.142) эквивалентны на С, а физические наблюдаемые (такие, как энергия) постоянны на этих потоках. Таким образом, достаточно выбрать представителя в каждом классе, причем опять регулярным способом. С этой целью пересечем многообразие С другим многообразием, которое описывается вспомогательным условием

    (9.144)

таким образом, чтобы каждая линия потока имела единственное пересечение с данной пересекающей поверхностью. Это условие будет выполнено, если g монотонно меняется вдоль любой линии Потока, что имеет место в случае, когда

    (9.145)

При этих условиях можно ввести явную параметризацию на выполняя следующее каноническое преобразование:

В новых переменных скобка имеет вид

а условие (9.145) позволяет найти решение уравнения

    (9.147)

для как функции от :

    (9.147а)

Определение фактор-пространства завершается условием (9.144), которое принимает теперь вид

    (9.148)

Наконец, нетрудно проверить, что величина

    (9.149)

является эффективным гамильтонианом на фактор-пространстве.

Произвол, имеющийся в выборе функции g, удовлетворяющей условию (9.145), может привести к некоторым затруднениям при общем определении во всем фазовом пространстве.

Вышеописанную конструкцию легко обобщить на случай независимых связей

    (9.150)

Кольцо состоит из гладких функций, обращающихся в нуль на многообразии С, определенном записанными выше уравнениями, т. е. из функций вида

    (9-151)

Потребуем, чтобы скобка принадлежала , если F принадлежит :

    (9.152)

Для того чтобы на С можно было определить отношение эквивалентности, исключающее остальные координат, потребуем также, чтобы кольцо было инвариантно относительно скобочной операции Пуассона

    (9.153)

Это условие автоматически выполнялось, когда кольцо Л имело единственный генератор.

Действуя, как и прежде, определим расслоение на многообразии С, рассматривая в произвольной его точке систему траекторий, порождаемых произвольным элементом . Касательные к этим траекториям образуют -мерное линейное многообразие в -мерном пространстве, касательном к С. Не зависящее от времени отношение эквивалентности Е отождествляет точки, принадлежащие одному и тому же -мерному многообразию, порождаемому кольцом имеет естественную структуру фазового пространства Эту структуру можно продемонстрировать явным образом, вводя вспомогательных условий:

    (9.154)

которые фиксируют единственную точку в -мерном слое в С. Достаточное условие этого записывается в виде

    (9.155)

Если потребовать, чтобы скобки Пуассона между величинами g обращались в нуль, то каноническое преобразование определяется таким образом, что

    (9.156)

чтобы можно было выразить на С величины через при этом фактор-пространство определяется условиями

В фактор-пространстве динамика описывается гамильтонианом Н, полученным из первоначального гамильтониана с помощью канонического преобразования, учитывающего вышеописанную процедуру исключения лишних переменных.

Покажите, что соответствующая конструкция в случае связей следует рекуррентным образом из конструкции, полученной лишь при наличии единственной связи.

Для того чтобы можно было квантовать такие системы б терминах независимых канонических переменных Р и Q гамильтониана Н и соответствующих наблюдаемых, запишем амплитуду перехода в виде

    (9.158)

В реальных случаях, вообще говоря, нецелесообразно производить исключение переменных, приводящее к канонической параметризации на Поэтому будем искать выражение для амплитуды (9 158) через исходные связанные переменные (р, q). Для этого запишем меру к каждый момент времени в континуальном интеграле следующим образом:

Поскольку выражение инвариантно относительно канонических преобразований, его можно записать в виде . Кроме того, используя соотношение и обычное правило для -функций, получаем

Из (9.156) следует, что якобиан есть не что иное, как , который мы будем обозначать кратко через Используя интегральное представление

и производя перегруппировку, находим

    (9.159)

Связи входят сюда явным образом, и мы видим, что в экспоненте здесь стоит действие, определяемое выражением (9.138). В (9.159) не входят переменные, сопряженные с .

Для того чтобы это построение имело смысл, необходимо, чтобы выражение (9.159) не зависело от выбора вспомогательных условий Убедимся в этом на примере инфинитезимальных изменений. Рассмотрим, к каким следствиям приводит небольшое изменение

    (9.160)

В силу условия (9.155) линейная система уравнений

допускает единственное решение. Это означает, что

    (9.162)

Соответствующее порождает каноническое преобразование, записываемое в виде

    (9.163)

которое оставляет меру инвариантной. Вспоминая условие (9,153), мы видим, что порождает также несингулярное линейное преобразование связей:

    (9.164)

где матрица является, вообще говоря, функцией переменных . Наконец, действие изменяется самое большее из-за наличия граничных членов, которые необходимы для того, чтобы учесть изменение граничных условий.

Если выполнить в (9.159) интегрирование по X:

то мы увидим, что благодаря присутствию все величины определены с точностью до функции на А Применяя затем каноническое преобразование (9.163) и используя соотношение

можно показать, что

поскольку разности и их скобки Пуассона с обращаются в нуль на С Наконец, мы можем записать

В итоге получаем

    (9.165)

Таким образом, мы доказали, что континуальный интеграл (9 159) с точностью до граничных членов, присутствующих в фазе, действительно не зависит от инфинитезимальною изменения вспомогательных условий Читателю предлагается объяснить роль этих граничных членов, равных а также обобщить данные рассуждения на случай, когда вспомогательные условия зависят от времени