9.4.2. Ангармонический осциллятор

Применим рассмотренные выше идеи к изучению квантовомеханической системы. Хотя метод работает для любого полиномиального потенциала, для определенности рассмотрим энергию основного состояния ангармонического осциллятора с гамильтонианом

    (9.196)

Обозначим конфигурационную переменную через , а сопряженный ей импульс — через , чтобы подчеркнуть формальную аналогию с теориями поля высших размерностей. Задачу о разложении по степеням величины g можно рассматривать в рамках уравнения Шредингера. Мы ожидаем, что в случае бесконечно малых отрицательных g имеет место неустойчивость, которую можно исследовать с помощью приближения ВКБ (приближение

Вентцеля—Крамерса—Бриллюена). Поскольку в случае высших размерностей этот метод неприменим непосредственно, поучительно использовать альтернативный подход, построенный по аналогии с предыдущим примером.

Матричные элементы оператора эволюции можно представить в виде континуальных интегралов. Такое же представление существует и для следа оператора который интерпретируется как функция распределения канонического ансамбля осцилляторов. Здесь равно абсолютной температуре, умноженной на постоянную Больцмана, причем величина

    (9.197)

является свободной энергией. Когда температура стремится к нулю, или — к бесконечности, величина F представляет собой энергию основного состояния

Таким образом, функцию распределения можно записать в виде континуального интеграла от экспоненты, показатель степени которой есть не что иное, как евклидово действие (т. е. действие, в котором относительный знак между кинетической и потенциальной энергией заменен на обратный по сравнению с обычным выражением). Функции являются периодическими во «времени»: в соответствии с тем фактом, что мы вычисляем след

    (9.198)

Энергия основного состояния дается формулой

    (9.199)

где определяется выражением (9.198).

Разложение отношения по степеням g имеет вид

При больших k величина вычисляется посредством метода перевала. Мы ищем седловую точку для которой выполняется равенство и которая минимизирует эффективное

действие

    (9.201)

т. е. должно удовлетворять уравнению

Переопределяя с помощью соотношения

ФЛО

приходим к уравнению

    (9.204)

которое выражает тот факт, что имеет первый порядок, тогда как растет как По сравнению с обычным уравнением движения в уравнении (9.204) изменены два знака, а также благодаря (9.203) отсутствует зависимость от константы связи.

РИС. 9.6. Эффективный потенциал в евклидовом пространстве Штриховой линией показано движение в ограниченных пределах.

Во-первых, потенциала, а следовательно, и силы, изменен на противоположный благодаря повороту к евклидову времени (другой способ перехода в евклидову область состоит в замене t

на изменяющей знак ускорения) Во-вторых, эффективная отрицательна, о чем говорит относительный знак между гармоническим и ангармоническим членами Эффективный потенциал изображен на рис. 9.6 Уравнение является трансляционно-инвариантным во времени и симметричным относительно преобразования

Сдвигая начало отсчета времени t, можно перейти вместо к симметричному временному интервалу . В пределе интервал становится бесконечным, и решение, минимизирующее действие, записывается в виде

с точностью до общего знака и при произвольном выборе начала отсчета времени Очевидно, что данное выражение удовлетворяет периодическим граничным условиям, которые здесь дополнены условием конечности действия Таким образом, имеется бесконечное число вырожденных седловых точек, удовлетворяющих условиям

    (9.207)

В этом пределе соотношение между запишется в виде

Из-за вырождения седловых точек, которое является следствием симметрий задачи, интегрирование по квадратичным отклонениям от минимума требует некоторой осторожности Правильнее отнести это к проблемам квантования, поскольку мы ищем квантовые частоты осцилляций около классического экстремума действия Этот вопрос возникает всякий раз, когда классическая седловая точка используется с целью нахождения приближенного выражения для континуального интеграла и имеется вырождение, связанное с непрерывной инвариантностью Нулевой частоте отвечают одна или несколько мод В данном случае они соответствуют трансляции во времени и их следует отделить прежде всего для того, чтобы после интегрирования по получить множитель Разумеется, существенно то, чтобы величина оставалась конечной, хотя и большой, несмотря на то что для тех величин, которые допускают конечный предел, её можно было бы выбрать даже

бесконечной. Рассматриваемая задача имеет непосредственное отношение к квантованию систем со связями, которые мы изучали в разд. 9.3

Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы исследовать отдельно коллективную моду, возникающую благодаря трансляционной степени свободы Для этого введем в континуальный интеграл следующий фактор, равный единице:

    (9.209)

где определяется неявно с помощью условия

    (9.210)

а функция является нормированной производной от соответствующей, скажем, точке

    (9.211)

Мы вскоре выясним, почему нам пришлось сделать такой выбор.

Если над полем произведено преобразование трансляции на величину , а именно то при этом предельное действие и континуальный интеграл по путям остаются инвариантными, но заменяется на . Таким образом, интегрирование по можно выполнить явно, что дает, как и ожидалось, множитель . Следовательно,

    (9.212)

С точностью до знака благодаря -функции мы получим единственную седловую точку. Можно произвести разложение около одного из двух решений (например, положительного) при условии, что результат умножается на два, поскольку вследствие симметрии оба вклада равны друг другу. Положим

    (9.213)

и удержим главные члены в разложении по При этом получаем

    (9.214)

В главном порядке мы опускаем и видим, что

    (9.215)

Во втором порядке по величина имеет вид

где

В скобочных обозначениях Дирака имеем

    (9.217)

здесь К—оператор Шредингера:

соответствует свободной части, т. е. Согласно предписанию, необходимо проинтегрировать нормированную величину по подпространству, ортогональному Спектр оператора содержит дискретную нулевую моду с собственной функцией, определяемой Действительно, дифференцируя (9.204) по времени и подставляя в результат решение (9.205), имеем

Это не влияет на интегрирование с -функцией. Кроме того, поскольку имеет один узел, существует единственная нормированная величина соответствующая отрицательному собственному значению оператора Остальная часть спектра представляет собой положительный континуум Из определения и следует, что

Оператор К соответствует новой задаче Шредингера с так называемым потенциалом Баргмана, которая допускает явные решения. Вычислим не равный нулю детерминант оператора в пространстве, ортогональном

Таким образом, окончательное выражение для запишется в виде

Множитель здесь обусловлен наличием гауссова интеграла по который не учитывается в знаменателе, когда мы рассматриваем

оператор Этот множитель станет другим, если мы предпочтем не нормировать . От дополнительного проектора нетрудно избавиться, если заметить, что

    (9.221)

Выше мы отмечали, что, поскольку принадлежит подпространству, ортогональному уравнение (9.221) можно обратить в этом пространстве, и мы получим

    (9.222)

Знак минус нас вполне устраивает, так как остается единственное отрицательное собственное значение оператора На практике, для того чтобы отделить вклад поперечных мод, можно использовать предельную процедуру, заменяя на и отделяя коэффициент при (2—1), когда . Таким образом,

    (9.223)

Существует несколько методов получения явного выражения для этого детерминанта Фредгольма. Наиболее поучительный из них, допускающий обобщение на произвольный одномерный потенциал, состоит в том, чтобы связать вычисление флуктуаций около седловой точки в континуальном интеграле и обычное ВКБ-приближение для волновых функций Следует также заметить, что в данном случае проблема флуктуаций сводится к решаемому уравнению. Применение находят оба метода, которые в результате дают

откуда мы находим

    (9.225)

Объединяя все сомножители, получаем

Как и следовало ожидать, это приводит к растущему фактору вида как, например, для функции

    (9.227)

Благодаря такому поведению данный результат можно переписать в терминах разложения для энергии. Действительно, главный вклад в коэффициент при g в разложений для имеет вид , где растет как . Таким образом, применяя формулу (9.199), находим, что множитель Р выпадает, и мы получаем

    (9.228)

Впервые это соотношение получили Рендер и

Граффи, Греччи и Саймон в случае ангармонического осциллятора сумели показать, что функция суммируема по Борелю, т. е. может быть записана в виде преобразования Бореля с помощью соотношения типа (9.185).

Затем, используя стандартную технику теории возмущений в окрестности седловой точки, можно получить систематическим образом поправки по степеням величины Данный метод можно также обобщить на возбужденные состояния, удерживая в выражении для действия в седловой точке члены порядка и разлагая по степеням величины

Заметим, наконец, что помимо периодических решений с периодом существуют решения с дробными периодами , которым также могут соответствовать седловые точки. Этим решениям отвечают значения классического действия, которые превосходят наименьшее в два, три и раз Следовательно, поправки, вносимые ими в наши результаты, экспоненциально малы

В принципе эти методы можно непосредственно обобщить на теорию поля, по крайней мере пока не рассматриваются перенормировки. Аналогичным образом находят точки нестабильности при малых константах связи. Они ответственны за сингулярности в плоскости, преобразованной по Борелю. До тех пор пока эти сишулярности не достигают положительной веществешюй оси (считается, что последняя отвечает физической ситуации), теория последовательна. Эта дополнительная информация позволяет использовать наиболее аффективным образом первые несколько членов ряда теории возмущений с целью точного определения физических величин. Данная программа привела к большому успеху в ряде приложений бозонной теории в трех измерениях к проблемам статистической механики. Эту программу можно обобщить и на фермионные поля Однако могут встретиться также сингулярности на положительной вещественной полуоси, которые являются следствием подлинных нестабильностей. С такими сингулярностями можно столкнуться даже при квазиклассическом рассмотрении (например, в случае калибровочных полей, рассматриваемых в гл. 12). Вследствие этого для построения теории возмущений мы должны среди нескольких вырожденных минимумов классической энергии выбрать один. При этом расходимость ряда отражает квантовый туннельный эффект между данными основными состояниями. Классические евклидовы

решения уравнений поля с конечным действием интерполируют между этими состояниями, давая вклад в амплитуду перехода . Следовательно, для построения разумной теории необходимо устранить это вырождение, вводя дополнительные квантовые числа

Дополнительные сингулярности могут возникнуть также в результате перенормировки. Это, по-видимому, ставит трудные проблемы, связанные с последовательностью перенормируемых теорий поля.