8.4.2. Регуляризация Паули — Вилларса во всех порядках

Будем иметь здесь дело с традиционной регуляризацией Паули — Вилларса, а не с размерной регуляризацией. Последняя используется при вычислениях в двухпетлевом приближении в разд 8.4 4. Напомним, что метод Паули — Вилларса сводится к независимой регуляризации фермионных петель и фотонных пропагаторов. Фотонный пропагатор заменяется стандартным путем суперпозицией свободных пропагаторов

РИС. 8.16. Фермионная петля.

Однако фермионные петли трактуются как целое, каждая представляет собой теперь сумму вкладов, соответствующих фермионам с различными массами, минимальным образом связанных с электромагнитным током (рис. 8.16). Соответствующая амплитуда записывается в виде

причем -импульсы, входящие в петлю. Избавляясь в знаменателях от у-матриц, вычисляя след и разлагая числители и знаменатели по степеням величины получаем

здесь полиномы от степени, меньшей или равной . Для больших коэффициент при ведет себя как Следовательно, если мы наложим два условия

то подынтегральное выражение для любой фермионной петли будет вести себя как (мы отбрасываем вакуумные диаграммы; поэтому и, значит, петля является условно сходящейся. Такие условия можно реализовать посредством введения только двух вспомогательных масс:

где -обрезание (которое в конечном счете стремится к бесконечности). Этот выбор таков, что

Вскоре мы выясним, почему требуется, чтобы были целыми Что касается фотонного пропагатора, то единственное вычитание

делает его достаточно быстро убывающим, чтобы все диаграммы сходились. Подразумевается, что при Все приведенные выше рецепты следуют из регуляризованного лагранжиана

После интегрирования по частям квадратичная по А часть принимает вид

где дифференциальный оператор определяется следующим образом:

При этом очевидно, что пропагатор поля А, т. е. оператор, обратный по отношению к квадратичной форме, входящей в 3 А, имеет вид . С другой стороны, мы ввели в (8.95) три вспомогательных поля , взаимодействующие минимальным образом с электромагнитным полем и наделенные массами определяемыми соотношениями (8.92). Кроме того, , рассматривается как обычное поле Ферми, в то время как и квантуются согласно статистике Бозе! Такие странные правила, разумеется, формулируются для того, чтобы воспроизвести рецепт (8.93) Вследствие вырождения, существующего между полями и отсутствия знака минус в соответствующих им замкнутых петлях мы имеем

Мы достигли нашей цели. Теория регуляризована удовлетворительным образом, поскольку в (8.95) 3 является калибровочно-инвариантным (с точностью до члена, отвечающего фотонной массе, и поперечных членов, фиксирующих калибровку в , а тождества Уорда, рассмотренные в разд. 8.4.1, очевидно, удовлетворяются.