13.2.3. Коэффициенты Каллана — Симанзика в низших порядках

В случае -теории можно воспользоваться результатами вычислений, выполненных в гл. 9 с точностью до порядка . Возможно, более поучительным будет вычисление и , исходя из контрчленов лагранжиана. Для определенности предположим, что

проведена гауссова регуляризация

Вычислим как функции от . Мы не будем здесь опускать члены типа «головастик», которые должны сократиться в конце вычислений.

Для нашей цели достаточно вычислить с точностью до членов порядка напомним, что в -теории перенормировка волновой функции в этом порядке отсутствует. Нарисуем диаграммы Фейнмана и поместим их справа от соответствующих выражений. Как и в предыдущих главах, будем здесь обозначать постоянную Эйлера через у Будем также считать, что члены, записанные как константы, не зависят от .

Таким образом, имеем

В соответствии с (13.59) получаем

Таким образом, соотношения (13.76) определяют Z, g и как функции от . Подставим вместо удерживая члены только порядка и используя обозначения

    (13.77)

Отсюда следует, что

    (13.78)

К счастью, члены, пропорциональные исчезли; остались лишь логарифмы. Пользуясь определением (13.66), находим

В рассматриваемом порядке множитель можно заменить единицей. Выражая через получаем

    (13.79а)

Аналогичным образом

Как и ожидалось, все коэффициенты являются конечными. Кроме того, характерные для использованной схемы регуляризации постоянная Эйлера у и которые появлялись на промежуточных стадиях вычислений, в окончательных результатах исчезли.

Упражнения

1 Проверьте, что не зависит от рецепта перенормировки вплоть до порядка

2. Изучите модификации, возникающие при наличии группы внутренней симметрии

3. Выведите из (13.70) уравнения Каллана—Симанзика, которым должны удовлетворять функции , рассматриваемые в гл. 9 [см. выражения (9.116)], и убедитесь, что и рамках теории возмущений им подчиняются выражения, полученные в (9 132).

Можно также использовать результаты, полученные в гл. 12 для калибровочных полей, и вычислить соответствующую функцию . Как мы видели, связь между перенормированной и затравочной константами связи в низшем порядке дается выражением

    (13.80)

Энергетический масштаб , был произвольным параметром, который позволял определить g без привлечения механизма Хиггса, приводящего к истинной физической массе Из (13.80) получаем в порядке Добавим сюда также двухпетлевой вклад, вычисленный Касуэллом, Джонсом, Белавиным и Мигдалом:

Интересная особенность этого результата состоит в том, что в противоположность аналогичным выражениям квантовой электродинамики [выражение (13 29)] или -теории [выражение (13.79)] функция при имеет знак, противоположный g (при условии, что ). Позже мы убедимся в важности этого замечания. Заметим также, что вычисление аномальных размерностей заведомо интересно лишь для калибровочно-инвариантных операторов. К этому вопросу мы еще вернемся.

Упражнения

1. Покажите, что вычисление, выполненное в квантовой электродинамике, согласуется с (13.81), если положить и обозначить

2. Рассматорте модель калибровочных полей, взаимодействующих со скалярным бозонами Получите их вклад в низшем порядке и удостоверьтесь, что он составляет 1/8 фермионного вклада при условии, что поля соответствуют вещественному представлению