11.2. СПЕКТР МАСС, МУЛЬТИПЛЕТЫ И ГОЛДСТОУНОВСКИЕ БОЗОНЫ

11.2.1. Октетная модель Гелл-Манна и Неемана

В случае когда внутренние симметрии образуют компактную группу Ли, фазы операторов представления можно выбрать таким образом, что мы получим унитарное представление ее накрывающей группы Это представление расщепляется на неприводимые компоненты, действующие в подпространствах исходного гильбертова пространства. Следовательно, последнее порождается мультиплетами состояний.

Здесь мы коротко обсудим модель приближенной -симметрии сильных взаимодействий (октетную модель), которая обобщает уже известную нам изотопическую инвариантность ядерных сил, открытую Гейзенбергом в 30-х

При высоких энергиях проявляются более широкие группы ароматов, как их теперь называют. В процессе изучения новых узких резонансов в области нескольких ГэВ уже имеются данные о наличии -симметрии, и вполне вероятно, что это еще далеко не предел.

Члены элементарного изодублета—протон и нейтрон—классифицируются в соответствии с собственными значениями третьей компоненты изоспина принимающей в данном случае значения ±1/2; при этом имеет место следующее соотношение:

    (11.14)

где - барионный заряд. В рамках лагранжевой теории соответствующие поля объединяются в изоспинор и, если пренебречь различиями в массах, можно записать свободный лагранжиан

который оказывается инвариантным при изоспиновых вращениях:

где U — унимодулярная унитарная 2х2-матрица. Простейшая инвариантная связь — это связь с пионным изовекторным полем (см. гл. 5 в т. 1). Для пиона в соотношении, аналогичном (11.14), нужно положить N = 0 и приписать Т значения +1, 0 или —1. С учетом свойства псевдоскалярности пиона единственным перенормируемым инвариантным взаимодействием является

    (11.16)

Обозначение матриц Паули и пионных полей полужирными буквами означает, что они являются векторами в изопространстве. Формула (11.16) представляет собой запись в компактном виде ряда соотношений между различными константами связи:

    (11.17)

выражающих динамическое содержание симметрии. Эти соотношения можно получить, замечая, что обычные поля связаны с их декартовыми компонентами следующим образом:

    (11.18)

Отметим, что оператор рождает положительный пион или уничтожает отрицательный. Выше при обсуждении пион-нуклонного рассеяния мы упоминали о некоторых динамических следствиях этой симметрии, таких, как неравенства треугольника для соответствующих сечений. В начале 1960-х гг. Гелл-Манну и Нееману удалось обобщить изотопическую симметрию до более широкой группы SU (3). Как оказалось, все известные мультиплеты адронов соответствуют представлениям фактор-группы , где является абелевым центром группы SU(3), генерируемым кубическими корнями из тождественного элемента. Генераторы центра действуют как единица на все адронные состояния, которые, таким образом, обладают нулевой триальностью.

Напомним, что представления удобно описывать в терминах алгебры Ли инфинитезимальных эрмитовых генераторов группы. Метод такого описания нам хорошо известен из квантовой механики. Мы диагонализуем максимальный набор коммутирующих генераторов (подалгебру Картана). Базисные состояния задаются весовыми векторами, компоненты которых совпадают с собственными значениями этих генераторов в пространстве, размерность которого равна рангу алгебры Ли, т. е. размерности подалгебры Картана В случае группы SU(2), имеющей ранг единица, весовые диаграммы являются одномерными, причем по оси абсцисс

откладывают собственные значения Т (рис. 11.1). Выделенную роль играет присоединенное представление, действующее на самой алгебре Ли посредством операции коммутирования.

РИС. 11.1. Весовые диаграммы для SU(2).

В случае SU (2) оно соответствует единичному изоспину, причем

Этот метод можно обобщить на группу SU(3), которая порождается восемью эрмитовыми генераторами (в фундаментальном представлении это бесследовые 3х3-матрицы) и алгебра Ли которой имеет ранг два. Два диагональных генератора представляют собой линейные комбинации изоспина и гиперзаряда Y, который определяется

РИС. 11.2. Мезонные и барионный октеты и резонансный декуплет в модели Гелл-Манна и Неемана.

как сумма барионного числа и странности. Формула Гелл-Манна и Нишиджимы дает связь этих операторов с зарядом:

    (11.20)

обобщая тем самым соотношение (11 14) На рис. 11.2 показаны мультиплеты наименьшей размерности — октеты барионов и псевдоскалярных мезонов [они соответствуют присоединенному представлению SU(3)], а также декуплет резонансов, на основе которого было предсказано существование частицы

В представлении матрицами Гелл-Манна базис алгебры Ли, обобщающий матрицы Паули, записывается следующим образом:

Эти матрицы нормированы в соответствии с условием

и подчиняются коммутационным и антикоммутационным соотношениям

    (11.22)

где полностью антисимметричны, a полностью симметричны; в следующей таблице приведены ненулевые компоненты этих величин:

С момента открытия унитарной симметрии оставалось загадкой, почему в природе отсутствуют мультиплеты с ненулевой триаль-ностью. Простейший из таких мультиплетов мог бы соответствовать триплету гипотетических кварков, введенных Гелл-Манном и Цвейгом.

РИС. 11.3 Кварковый триплет.

Эти частицы [изодублет (d) и изосинглет (s)] должны иметь дробные заряд и барионное число (рис. 11.3). Если унитарная группа сильных взаимодействий на самом деле шире, чем SU (3), то должны существовать кварки, несущие новые квантовые числа, такие, как очарованный кварк (с), изосинглет с зарядом 2/3 и гиперзарядом 1/3. Соответствующая новая группа симметрии SU (4) имеет ранг три.

РИС. 11.4. Фундаментальное и присоединенное представления для Указаны новые мезоны с чармом.

На рис. 11.4 представлены весовые диаграммы для ее (четырехмерного) фундаментального представления и (пятнадцатимерного) присоединенного представления.

Было предпринято много безуспешных попыток обнаружить свободные кварки, главным образом используя факт дробности их зарядов. Оказалось, что все известные адроны ведут себя как связанные состояния кварков. Идея о том, что кварки могут существовать только в связанных состояниях, привела к понятию

«конфайнмента». Было предложено несколько механизмов его реализации. Один из наиболее обещающих подходов базируется на локальной ненарушенной цветовой симметрии. Мы рассмотрим этот подход в следующих главах.

Октетная симметрия является приближенной инвариантностью сильных взаимодействий. Это утверждение заведомо справедливо и в отношении любой более широкой группы инвариантности. Однако нарушение симметрии вводится довольно однотипно, исходя из так называемого правила октетной доминантности. Чтобы показать это на примере, рассмотрим расщепление масс между членами одного из мультиплетов, взяв для определенности барионный октет, включающий нуклоны, а также -частицы. В предположении, что имеется лишь изоспииовая инвариантность, в эффективный лагранжиан массовые члены должны входить с коэффициентами Любая билинейная комбинация полей, такая, как преобразуется относительно SU (3) как прямое произведение двух октетных представлений, которое можно разложить на неприводимые части согласно стандартной процедуре Клебша—Гордана:

    (11.24)

Требование нейтральности исключает несамосопряженные представления 10 и 10 из массовой матрицы. Из этого следует, что четыре физические массы можно записать в виде следующих линейных комбинаций четырех голых параметров, стоящих при полевых комбинациях, имеющих определенные трансформационные свойства в SU (3):

Разумеется, эта перегруппировка не представляла бы особого интереса, если бы ни один из неприводимых параметров не обращался в нуль. Предположим, однако, что расщепление масс заложено в более фундаментальном лангранжиане на уровне массовых членов кварков типа содержащих лишь синглетные и октетные представления, и что это свойство (таинственным образом) сохраняется при учете всех взаимодействий Это означает, что в выражении (11.25) параметр обращается в нуль; отсюда

мы получаем соотношение Гелл-Манна и Окубо:

    (11.26)

которое хорошо согласуется с экспериментальными данными, а именно

В аналогичную формулу для псевдоскалярного октета входят квадраты масс:

    (11.27)

Необходимо учитывать смешивание с девятым мезоном, дополняющим октет до нонета. Само по себе соотношение (11.27) предсказывает в то время как экспериментальное значение .

Правило октетной доминантности, примененное к декуплету, ведет к эквидистантному расщеплению масс, которое хорошо согласуется с экспериментальными результатами; главным достижением этого правила является предсказание полного набора квантовых чисел -частицы:

Унитарная симметрия позволяет написать различные соотношения между амплитудами рассеяния, которые находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом. Мы будем подробно говорить об этом при обсуждении применений алгебры токов.