12.4. ПЕРЕНОРМИРОВКА

Данный раздел посвящен изучению перенормировки неабелевых калибровочных теорий с ненарушенной симметрией. Что происходит в случае, когда локальная симметрия спонтанно нарушается, мы выясним позже. Здесь же рассмотрим вопрос о том, сохраняются ли при перенормировке замечательные свойства калибровочных теорий, в частности универсальность константы связи На промежуточных стадиях будет вводиться регуляризация; практически наиболее удобной является размерная риуляризация. Свойства, которые мы хотим получить, будут следовать из тождеств Уорда, впервые полученных для данных целей Славновым и Тейлором. Читателю может показаться, что повторное применение таких тождеств в этой главе и в гл. 8 и 11, излишне. Однако неабелевы калибровочные теории характеризуются сложной структурой и соответственно требуют усложненных методов анализа.

12.4.1. Тождества Славнова — Тейлора

Будем исходить из производящего функционала

где — вариация величины относительно, калибровочного преобразования

    (12.128)

Воспользуемся тем свойством, что при этом преобразовании мера является инвариантной даже в том случае, когда само зависит от А. Иными словами, если

то

    (12.129)

Для того чтобы рассмотреть эти выражения более аккуратно, напишем согласно определению, в виде

Для калибровочного преобразования, не завиеящего от А, очевидно, имеем

благодаря инвариантности меры Однако в данном случае, для которого

калибровочное преобразование зависит от потенциала. Мы покажем, что якобианы в и стремятся скомпенсировать друг друга. Рассмотрим

В правой части оба члена, заключенные в квадратные скобки, равны единице. В случае аргумент последней -функции исчезает и поэтому в первую -функцию вместо можно подставить общее q Положив затем обнаружим, что и проинтегрируем по В Таким образом, используя инвариантность относительно не зависящих от потенциала калибровочных преобразований, получаем

Последнее равенство возникает в результате интегрирования по g и является точной записью формулы (12.129).

Таким образом, мы можем написать

Смысл данного тождества наиболее легко исследовать, если положить , что соответствует нелокальному калибровочному преобразованию, которое сдвигает на величину . В низшем порядке по находим

или, подставляя вместо величину

    (12.130)

где подразумевается, что выполнено суммирование по повторяющимся индексам. Выражение

    (12.131)

можно рассматривать как духовый пропагатор в присутствии источника

В окончательном виде тождества Славнова—Тейлора записываются следующим образом:

    (12.132)

Записать эти тождества компактным образом через одночастично неприводимые функции довольно трудно. Такой цели позволяет достичь преобразование, обнаруженное Бекки, Рюэ и Стора. Для этого в действие снова вводятся духовые поля:

    (12.133)

Нетрудно показать, что данное действие инвариантно при следующем комбинированном преобразовании переменных:

    (12.134)

В противоположность преобразованию, использованному выше, данное преобразование является локальным. Оно вводит не зависящий от х антикоммутирующий параметр и смешивает коммутирующие и антикоммутирующие переменные.

Инвариантносгь действия легко доказать. Во-первых, лагранжиан инвариантен, поскольку представляет собой калибровочное преобразование специального вида. Во-вторых,

вследствие того, что и антикоммутируют, И наконец,

Первый член обращается в нуль поскольку выражение антисимметрично по отношению к перестановке индексов, кроме того, с помощью (12.134) и тождества Якоби можно показать, что

    (12.135)

В дальнейшем мы будем использовать также аналогичное равенство

    (12.136)

Генератор преобразования Бекки—Рюэ—Стора s определяется как правая производная величин (12.134) по Уравнения (12.135) и (12.136) означают, что

Эта инвариантность приводит к соотношениям между функциями Грина. Прежде всего покажем, как воспроизводится тождество Славнова—Тейлора (12.130). Будем исходить из уравнения

которое следует из того факта, что в подынтегральном выражении имеется нечетное число духовых переменных. Осуществим замену переменных в соответствии с (12.134); легко проверить, что такая замена не влияет на интеграл, а ее якобиан равен единице. Следовательно,

    (12.137)

Интегрирование по эффективно сводится к подстановке

и приводит таким образом к тождеству (12,130).