Глава 9. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Формализм континуального интегрирования, развитый Фейнманом и Кацем, позволяет рассматривать с единой точки зрения квантовую механику, теорию поля и модели статистической механики. Мы вводим этот формализм сначала для систем с конечным числом степеней свободы, затем обобщаем его на фермионные системы и на системы с бесконечным числом степеней свободы. Метод перевала выявляет тесную связь данного формализма с квантовой механикой и позволяет заново воспроизвести результаты обычной теории возмущений. Среди различных приложений мы рассматриваем здесь понятие эффективного действия, квантование систем со связями и вычисление высших порядков теории возмущений.

9.1. КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Впервые идея о представлении квантовомеханических амплитуд через интегралы по путям была предложена в 1933 г. Дираком. Эта идея получила дальнейшее развитие в 40-х гг. в блестящей работе Фейнмана. Швингер разработал эквивалентный подход, основанный на функциональном дифференцировании. В начале к этим работам относились с некоторым предубеждением, поскольку их практическое применение требовало преодоления серьезных математических трудностей. Однако в 70-е гг. было показано, что данный метод является наиболее удобным при решении задач, возникающих в современной теории поля, и, следовательно, заслуживает детального изучения.

9.1.1. Роль классического действия в квантовой механике

Вернемся к квантовой механике, чтобы выяснить, какую роль в теории играет лагранжев формализм по сравнению с гамильтоновым. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы, описываемую парой сопряженных операторов Q и Р, удовлетворяющих коммутационному соотношению

Для обозначения операторов используем заглавные буквы, чтобы отличать их от соответствующих классических с-числовых величин. Пусть гамильтониан имеет вид

Обозначим состояния системы через . Наша цель найти выражение для амплитуды перехода

В обычном представлении коммутационных соотношений (9.1) можно ввести квадратично-интегрируемые волновые функции

и попытаться решить уравнение Шредингера в частных производных, вытекающее из (9.2) Несобственные состояния здесь таковы, что выполняются соотношения

Возвращаясь к выражению для амплитуд перехода, используем принцип суперпозиции и подставим в это выражение полную систему состояний, отвечающих промежуточному моменту времени. Это аналогично использованию принципа Гюйгенса в оптике. Разобьем эволюцию во времени на бесконечно малые этапы и вычислим сначала величину

Граничное условие требует, чтобы при эта амплитуда сводилась к . Для малых естественно ожидать, что, если заметно отличается от матричный элемент пренебрежимо мал либо вследствие убывания его модуля, либо вследствие быстрых осцилляций его фазы. Это наводит на мысль, что вместо оператора потенциала можно подставить его значение или что дает приближение следующего вида:

Члены, которыми мы пренебрегли, содержат коммутаторы умноженные на высшие степени величины А. Ими можно пренебречь, если V медленно меняется в окрестности Это означает, что на коротком промежутке мы не учитываем переход потенциальной энергии в кинетическую. Для

матричного элемента получаем оценку

Мы видим, что эта процедура является последовательной. При амплитуда подавляется сильными осцилляциями таким образом, что поправочные члены оказываются исчезающе малыми при условии, что , где V — производная потенциала. Это можно использовать для получения более симметричной формы записи, например заменяя на

Основываясь на выражении (9.5), можно рассуждать следующим образом. Величина является аналогом скорости q, а выражение в показателе экспоненты сводится к , где -функция Лагранжа:

Более точно, пусть -траектория, проходящая от до в течение интервала времени согласно классической механике, т. е. в соответствии с принципом наименьшего действия. Как мы только что видели, при ядро дает заметный вклад только для значений лежащих вблизи в области порядка . Таким образом, фаза амплитуды перехода эквивалентна действию

вычисленному вдоль классической траектории, проходящей от точки до Эта траектория почти совпадает с прямолинейным путем

Следовательно, можно написать

и

В пределе эта величина стремится к

Для конечного промежутка времени в силу принципа суперпозиции амплитуда запишется в виде

Фактически оказывается, что исходная фаза является суммой вида

т. е. действие вычисляется вдоль ломаной линии, показанной на рис. 9.1. Устремляя интервал к нулю, можно получить действие вдоль произвольной траектории.

РИС. 9.1. Ломаный путь интегрирования.

Определить точно набор функций которые дают существенный вклад в этом пределе, является нетривиальной математической задачей В данном случае достаточно гладкие потенциалы представляют собой так называемые функции Липшица порядка 1/2 Это означает, что величина ограничена постоянной, умноженной на . Читателя, интересующегося методическими подробностями, мы отсылаем к соответствующей литературе Те же, кого интересуют физические приложения, могут без опасений продвигаться вперед и извлечь удивительно много информации из формул причем нет необходимости более подробно анализировать предельный переход

Мы будем использовать краткое обозначение

«Мера» на функциональном пространстве траекторий обозначается через , она включает произведение нормировочных множителей , а концы траектории фиксируются граничными условиями Существенное свойство континуальных интегралов отражает принцип суперпозиции. Оно состоит в том, что, если t принадлежит интервалу должно выполняться равенство

Если в этих формулах восстановить , то подынтегральное выражение примет вид Переход к классическому пределу включает, естественно, вычисление интеграла по путям методом стационарной фазы. При этом классические траектории соответствуют экстремуму действия. Такая формулировка квантовой механики приводит, следовательно, непосредственным образом к динамическому принципу классической механики как предельному случаю. Если классическая траектория, соединяющая является единственной, то естественно ожидать, что с точностью до нормировочного множителя

Таким образом, квантовомеханическое описание можно интерпретировать как учет флуктуаций около этой классической траектории.

Математические тонкости, связанные с рассматриваемым формализмом, проистекают из того факта, что является комплексной, а подынтегральное выражение представляет собой осциллирующую функцию. Это наводит на мысль, что евклидова теория, получаемая с помощью поворота Вика к мнимому времени, может оказаться объектом, изучение которого с математической точки зрения более просто. В евклидову теорию входят матричные элементы оператора что соответствует переходу от уравнения Шредингера к уравнению теплопроводности или диффузии. Фактически эта пробтема была рассмотрена Винером, который впервые ввел континуальные интегралы в математике. В итоге мы получили ответ на вопрос, сформулированный в названии данного раздела, установив, что классическое действие входит в квантовомеханические амплитуды как показатель экспоненты в весовой функции траекторий в континуальных интегралах.

Формализм можно обобщить на матричные элементы операторов. При этом мы воспроизведем квантовомеханический принцип действия Швингера. Предположим, например, что нам нужно вычислить матричный элемент оператора в момент времени

промежуточный между

Для простоты предположим, что оператор 6 является диагональным в -представлении:

Тогда предыдущее выражение можно символически записать в виде

Этот результат можно обобщить на хронологическое произведение операторов

Если все эти операторы в -представлении диагональны, то мы имеем

Используя приведенные выше выражения, можно изучить последствия инфинитезимального изменения в динамике между моментами времени (например, небольшого изменения потенциала или граничных условий). Соответствующее изменение амплитуды перехода можно записать в виде

Это соотношение по форме совпадает с выражениями (9.14) и (9.15), записанными для оператора Последний может зависеть от промежуточных моментов времени, так что в общем случае мы имеем

Данное выражение можно использовать как инфинитезимальный эквивалент континуального интеграла. Например, если вариация является результатом перехода к более позднему моменту времени для конечного состояния, т. е. перехода от при котором то формула (9.16) приводит к уравнению Шредингера в виде

Изучим соотношение (9.11) на примере гармонического осциллятора

С частотой и и уровнями энергии .

Применим здесь выражение (9 11). Для любого малого интервала произвольный путь можно аппроксимировать прямолинейным отрезком таким образом, что соответствующее приращение действия запишется в виде

Положим Мы находим

Нам нужно проинтегрировать экспоненту от квадратичной формы где q обозначает набор величин а матрица M такова, что

Все остальные матричные элементы равны нулю. Переменными интегрирования являются . Если N представляет собой матрицу, полученную из матрицы М вычеркиванием в ней строк и столбцов с индексами 0 и , то имеет место равенство

Используя классический метод вычисления гауссовых интегралов, получаем

В показателе экспоненты линейные члены учитываются с помощью трансляций, что дает

Определяя величину а в виде

Детерминант матрицы N можно записать следующим образом:

Детерминант, входящий в правую часть этого выражения, обозначим через . При фиксированном а он удовлетворяет рекуррентному соотношению

решение которого имеет вид

Диагонализуя -матрицу, находим

Таким образом, при больших

Следовательно,

При последовательный расчет позволяет нам выбрать правильную фазу. Исключим этот случай, полагая Вычислим теперь величины

Окончательное выражение

безусловно, совпадает о результатом, полученным традиционными способами Интересно отметить, что в данном частном случае коэффициент перед экспонентой равен значению действия для реальной классической траектории на конечном промежутке времени. Это является характерным свойством квадратичных гамильтонианов.

В качестве второго упражнения читатель может применить этот метод к случаю, когда зависящий от времени гамильтониан описывает одномерное движение частицы под воздействием внешней силы:

Соответствующая амплитуда запишется в виде

где вновь обозначает действие, вычисленное вдоль классической траектория:

Выражение является симметричной функцией Грина классической задачи, описываемой уравнением с граничными условиями которую мы уже рассматривали в гл 1 (см I. 1)

Из выражения, аналогичного (9.16), следует

Эта формула позволяет нам дать алгебраическое определение амплитуды перехода для произвольного гамильтониана вида (9.2). В данном случае можно записать

Если здесь экспоненциальный оператор разложить в степенной ряд и построить теорию возмущений, то формальное выражение (9.24) принимает операторную форму

Все приведенные выше рассуждения можно без труда обобщить на любое конечное число степеней свободы

Рассмотрим теперь кратко более общий вывод ядра оператора эволюции (9.12) Идея состоит в использовании обоих базисов в гильбертовом пространстве Предположим, что смешанный матричный элемент гамильтониана можно записать в виде

Классическое значение равно квантовому оператору Н, упорядоченному таким образом, что, после того как мы заменим с-числа операторами, величины Р расположатся слева от Q В случае когда гамильтониан имеет вид (9.2), это не приведет к каким-либо затруднениям. Для бесконечно малого временного интервала получаем из (9.25) следующее регулярное приближение:

Таким образом, записывая выражение

где, как обычно, мы получаем

Разумеется, последнее выражение носит символический характер. Заметим, что интегрирование производится по одной дополнительной переменной таким образом что граничные условия содержат только . В подынтегральном выражении мы узнаем классическое действие

    (9.27)

записанное с помощью канонических переменных и q. Если зависимость является, как обычно, квадратичной, то интеграл по сводится к интегралу Гауеса Выполняя это интегрирование, (9.26) можно свести к (9 12)

Данный формализм позволяет также изучить проблему рассеяния. Для простоты ограничимся рассмотрением одномерного короткодействующего потенциала. В соответствии с этим для больших значений времени эволюция системы сводится к свободной, отвечающей гамильтониану а -матрица получается как предел

Ее матричные элементы между состояниями и запишутся в виде

В наших обозначениях

определяется как решение свободного уравнения Шредингера, такое, что т. е.

При величину можно оценить методом стационарной фазы:

Это выражение можно подставить в (9.29), в котором мы заменяем переменные по формулам что дает

Можно проверить этот результат для тривиального случая . В случае когда континуальный интеграл используется для того, чтобы построить выражение для матричного элемента оператора эволюции, соотношение (9.32) допускает интересную интерпретацию. В самом деле, из этого соотношения следует, что интеграл включает пути, которые асимптотически ведут себя как свободные траектории:

Разумеется, в случае одномерного движения из закона сохранения энергии следует, что однако этот формализм легко обобщается на более интересные многомерные случаи.

В качестве приложения рассмотрим приближение эйконала для трехмерного рассеяния на короткодействующем потенциале при больших энергиях и малых передачах импульса.

Мы исходим из представления оператора эволюции

В свободном случае это представление сводится к следующему:

В тех физических условиях, которые нас интересуют, основной вклад в континуальный интеграл вносят классические экстремальные траектории, которые для больших прицельных параметров можно аппроксимировать прямыми линиями:

Проводя факторизацию закона сохранения энергии и осуществляя переход с помощью преобразования Фурье в импульсное пространство, нетрудно получить следующее выражение для матричных элементов оператора перехода

здесь b (|b| — прицельный параметр) и -двумерные векторы в плоскости, перпендикулярной среднему импульсу.

Это приближение было обобщено на релятивистский случай Рассмотрим амплитуду рассеяния, соответствующую набору лестничных диаграмм с перекрестным обменом. В этих диаграммах происходит обмен скалярными бозонами с массой и константой связи g (рис. 9.2).

РИС. 9.2. Лестничные диаграммы с перекрестным обменом.

Данную амплитуду можно представить в виде континуального интеграла, аналогичного (9.32) и (9.33). В результате получается следующее выражение для амплитуды при больших s (квадрат энергии в системе центра масс) и малых передачах импульса

Читатель может определить, как ведет себя выражение (9.36) при и обобщить данный результат на случай электродинамики, где соответствующие амплитуды имеют полюсы, отвечающие связанным состояниям с правильным нерелятивистским пределом (см. разд. 2.3.2 в т. I настоящей книги).