Глава II. СИММЕТРИИ

Важная роль симметрий в квантовых системах и в физике частиц стимулировала целый ряд специальных исследований. Для построения теоретико-полевых моделей и понимания структуры фундаментальных взаимодействий необходимо идентифицировать различные инвариантности и способы, которыми они реализуются и нарушаются Значимость такого анализа подкрепляется захватывающими результатами, полученными в теории унитарной симметрии, в алгебре токов и в кирально-инвариантных моделях, а также все возрастающим интересом к кварковой структуре адронов. С другой стороны, соображения, основанные на симметриях, являются главными в теории фазовых переходов в макроскопических средах, что еще раз подчеркивает глубокую связь теории поля и статистической механики. Здесь мы рассмотрим некоторые из моделей, изучение которых привело к открытию специфических теоретико-полевых явлений, таких, как почти вырожденные мультиплеты полей, спонтанное нарушение симметрий и квантовые аномалии.

11.1. РЕАЛИЗАЦИЯ СИММЕТРИЙ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Выше мы уже встречались с несколькими примерами симметрий. Некоторые из них были дискретными: симметрии относительно пространственной инверсии, обращения времени и зарядового сопряжения. Другие были непрерывными, например лоренцева инвариантность, или даже зависящими от пространственно-временных координат, как в случае калибровочной инвариантности. Здесь мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении непрерывных внутренних симметрий и обсудим реализацию квантовых симметрий в рамках лагранжевой теории поля, хотя для формулировки некоторых утверждений и результатов нет нужды в таком специальном ограничении.

11.1.1. Постановка задачи

Рассмотрим некоторую теорию, инвариантную относительно группы непрерывных преобразований, ограничившись пока классическим случаем В гл. 1 (см. т. 1 настоящей книги) мы объяснили понятие инвариантности; она означает, что лагранжиан (или гамильтониан), а следовательно, и уравнения движения остаются инвариантными при данных преобразованиях Задача теперь состоит в том, чтобы выяснить, каким образом свойство инвариантности отражается на поведении квантовой системы, и, в частности, исследовать, к каким следствиям для спектра ее состояний оно приводит.

Анализ симметрий в рамках квантовой теории предполагает существование группы преобразований (локальных автоморфизмов), действующей на физические наблюдаемые и, следовательно, на динамические полевые переменные На инфинитезимальном уровне это приводит к задаче построения -векторных токовых плотностей и соответствующих нарядов. Возникает вопрос о возможности реализации этих преобразований унитарными операторами в гильбертовом пространстве состояний. В локальной постановке задача состоит в изучении сохранения токов, с глобальной же точки зрения необходимо задаться вопросом: генерируются ли зарядами унитарные операторы, коммутирующие с -матрицей?

В гл. 1 (т. 1 настоящей книги) в рамках классической теории мы уже обсуждали, как сопоставлять инфинитезимальньш преобразованиям группы соответствующие нётеровские токи. В случае когда поля преобразуются по закону

где - бесконечно малый параметр, токи определяются следующим образом:

здесь - лагранжиан теории. Это определение не зависит от того, инвариантно ли действие относительно преобразований (11.1) или не инвариантно и лишь предполагает, что лагранжиан является некоторой функцией полей и их первых производных. С учетом уравнений движения Эйлера — Лагранжа вариация сводится к

Заряды, определяемые интегралами

генерируют тогда преобразования (11.1) с помощью скобок Пуассона:

Соотношение (11.5) предполагает, что скобка Пуассона исчезает. Это справедливо в том случае, когда не зависит от сопряженного к импульса поля. В частности, величины удовлетворяют тогда коммутационным соотношениям, характерным для алгебры Ли группы преобразований со структурными константами [см. выражение (1.146) в т. 1]:

В соответствии с (11.3), если 3? инвариантен относительно рассматриваемых преобразований, токи сохраняются в классическом смысле, т. е.

а заряды не зависят от времени. Это легко установить, используя теорему Стокса и пренебрегая пространственными поверхностными членами.

В квантовом случае нам хотелось бы повторить все эти шаги и, в частности, построить сохраняющиеся токи Но так как токи, вообще говоря, являются локальными полиномами по полям, то при этом можег возникнуть ряд трудностей. Так, иногда полезно произвести предварительную регуляризацию, а именно осуществить малый относительный сдвиг аргументов полей, вычесть расходящиеся члены и т. д. В результате может оказаться так, что, для того, чтобы удовлетворить законам сохранения в этих случаях, нам придется решать нетривиальную задачу. На практике не всегда известны правила коммутации полей, чаще мы пытаемся проверить справедливость предположения о выполнении законов сохранения в каждом порядке теории возмущений после проведения соответствующей перенормировки Реализация этой программы сводится к установлению ряда тождеств, которым должны подчиняться функции Грина в случае сохранения данного тока. Указанные тождества подобны тождествам Уорда в электродинамике и могут быть проверены по теории возмущений. На примере киральной симметрии в а-модели Гелл-Манна и Леви мы продемонстрируем, что классические законы сохранения могут нарушаться аномалиями, связанными с ультрафиолетовыми расходимостями. Следовательно, эта область исследований не является чисто академической.

Рассмотрим теперь глобальный аспект проблемы, а именно унитарную реализацию симметрий и соответствующие следствия для спектра Здесь надо различать два случая, Первый из них наиболее известен и детально изучался (см. первые работы Вейля

и Вигнера) Он соответствует унитарному представлению группы симметрий в гильбертовом пространстве состояний. Действие этого представления на наблюдаемые дается формулой

Именно с такой ситуацией мы встречались при изучении пуанкаре-инвариантности Обсуждаемый случай предполагает введение фаговых множителей, что в свою очередь приводит к рассмотрению представлений односвязной накрывающей группы (теорема Вигнера). Состояния классифицируются по мультиплетам, которые соответствуют неприводимым представлениям. В частности, вакуум или основное состояние отвечает тождественному представлению. Симметрии иногда основываются на приближениях, в которых, например, пренебрегается более слабыми взаимодействиями. Это имеет место в случае изотопической инвариантности, о которой часто говорят, что она слабо нарушается электромагнитными силами. Ниже мы кратко коснемся этого вопроса. Однако может случится так, что симметрия проявляется только динамическим путем и вакуум относительно нее не инвариантен. Мы называем эту ситуацию голдстоуновской реализацией симметрии. В этом случае унитарные операторы не существуют и симметрия оказывается спонтанно нарушенной. Состояния уже не классифицируются по мультиплетам, и при определенных условиях возникают безмассовые частицы. Подобные ситуации в физике нередки: примером могут служить спиновые волны и ферромагнетизм. В физике частиц эта схема позволяет приближенно описать динамику пионов.