12.2. КВАНТОВАНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ

Следующий шаг состоит в том, чтобы провести квантование теории и вывести правила теории возмущений для вычисления функций Грина Физическая интерпретация, которая служила полезным руководством в случае электродинамики, здесь отсутствует. В частности, мы не знаем, будут ли возникать в результате квантования асимптотические безмассовые состояния, подобные фотону.

12.2.1. Квантование при наличии связей

В методе, описанном в разд. 9.3, использовался гамильтониан и динамические, переменные, заданные нековариантным способом. Тем не менее мы надеемся получить в итоге ковариантные выражения.

уравнений связей ( — порядок группы Ли)

    (12.60)

на поверхности (12.60) имеют нулевые скобки Пуассона с Н и друг с другом, как это предписывается соотношениями (9.152) и (9.153). Две пары , удовлетворяющие уравнению (12.60), эквивалентны, если они принадлежат одной и той же траектории потока (9.142):

т. е. если они связаны друг с другом не зависящим от времени калибровочным преобразованием. При этом следует ввести дополнительное условие, которое в каждом классе эквивалентности выделит единственного представителя.

В любом случае можно произвести калибровочное преобразование, такое, что во всем пространстве будет выполняться условие

    (12.61)

[см. соотношение (12.23)]. Эти дополнительных связей аксиальной калибровки определяют единственный элемент на каждой траектории, если предположить, что на бесконечности поля достаточно быстро обращаются в нуль. Поскольку калибровочные преобразования, которые сохраняют условие , не зависят от переменной и должны сводиться на бесконечности к тождественным преобразованиям, они согласуются с указанным предположением во всем пространстве. Это условие также запрещает проведение каких-либо глобальных преобразований

Следующий этап состоит в вычислении скобок Пуассона между Г и дополнительными условиями. Преимущество аксиальной калибровки (12.61) состоит в том, что эти скобки не зависят от динамических переменных Е и А. Действительно, есть инфинитезимальное калибровочное преобразование но ограниченное условием и не зависит от А или Е. Детерминант этих скобок, который появляется в интеграле по путям (Э 159), можно включить в нормировку, и мы его не будем выписывать в дальнейшем. Производящий функционал функций Грина записывается в виде

    (12.62)

Здесь для всех четырех компонент величины добавлены источники, несмотря на то что обращается в нуль, а по можно явно проинтегрировать.

Введение источника позволяет нам «зондировать» систему. Некоторые ее отклики, такие, как функции Грина, могут зависеть от выбора калибровки и являются просто промежуточным шагом на пути получения физической информации. Разумеется, заманчиво было бы рассмотреть непосредственно калибровочно-инварнантные величины, такие, как -матрица. К сожалению, асимптотические состояния неизвестны и любое вычисление объектов, претендующих на роль элементов -матрицы, осложняется присутствием сильных, хотя и небезынтересных, инфракрасных расходимостей. Кроме того, теория требует перенормировки и необходимо еще найти алгоритм устранения ультрафиолетовых расходимостей, не базирующийся на функциях Грина,

Поскольку в (12 62) вектор Е входит в экспоненту только квадратично, мы имеем по этой переменной гауссов интеграл,

который можно вычислить:

В функции наличие нижнего индекса А подчеркивает тот факт, что функции Грина зависят от выбора калибровки. Несмотря на простоту этой аксиальной калибровки, правила Фейнмана, которые можно вывести, не являются лоренц-ковариантными. Поэтому естественно рассмотреть более общие условия. Решим эту задачу в несколько этапов.

Изучим вначале другую нековариантную калибровку, а именно кулоновскую калибровку, вводимую вспомогательным условием

    (12.64)

Как было установлено выше, всегда можно найти локальное калибровочное преобразование, такое, чтобы удовлетворить условию (12.64). Это условие обычно рассматривалось как единственным образом определяющее калибровочное преобразование g. Иными словами, если то традиционное утверждение состоит в том, что решение уравнения относительно g сводится к тождеству при подходящих условиях на пространственной бесконечности, Именно так происходит в абелевом случае. Если , где то гармоническая функция Л обращается в нуль на бесконечности, а это значит, что она равна нулю всюду. Однако, как показал недавно Грибов, в неабелевом случае такое утверждение неверно Уравнение относительно g включает А и допускает решения при достаточно больших А. Выберем А таким, чтобы и рассмотрим не зависящее от времени инфинитезимальное калибровочное преобразование такое, что

    (12.65)

При достаточно малых А (что эквивалентно случаю достаточно малой константы связи) можно записать следующее разложение:

Предположение о том, что а обращается в нуль на бесконечности, означает, что то же самое справедливо для всех Нетривиального решения не существует. Однако соотношение (12.65) можно рассматривать как уравнение Шредингера. Можно проверить, что для достаточно большого потенциала А существуют связанные состояния, т. е. решения уравнения

при . Следовательно, для промежуточных значений потенциала А должны существовать решения с нулевой энергией, быстро убывающие на бесконечности.

Это возражение, по-видимому, является препятствием для осуществления нашей программы, так как сравнение квантования в различных калибровках основывается на предположении о единственности преобразования, которое их связывает. Однако, поскольку данное явление возникает при больших

значениях потенциала, оно не сказывается на структуре ряда теории возмущений, который, по существу, является разложением по слабому полю (малые флуктуации) около данной классической конфигурации. Поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать эффектом Грибова. Всякий раз, когда будет делаться утверждение о единственности выбора калибровки (12.64), мы будем понимать его в смысле теории возмущений.

Скобка Пуассона между вспомогательным условием (12.64) и связью является нетривиальной и записывается в виде

Введем оператор :

Последнее выражение справедливо только в том случае, когда определено на многообразии, ограниченном связями. Таким образом, в кулоновской калибровке производящий функционал для функций Грина имеет следующий вид:

    (12.68)

Изменяя нормировку в этом выражении, можно заменить на , где

Используя соотношения можно вывести правила Фейнмана в этой калибровке. Однако они также не будут иметь ковариантный вид.