Как можно описать взаимодействие в релятивистской квантовой теории? У нас нет потенциала, никаких сил, поскольку эти понятия сугубо нерелятивистские, более того, поле тоже представлено частицами. Итак, мы имеем всевозможные частицы, которые характеризуются своими массами и спинами, и более ничего. Рассмотрим две различные частицы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ без спина, их волновые функции $\Psi_{1}, \Psi_{2}$. Сопоставим функции Грина первой частицы прямую линию, второй волнистую, т. е.

Допустим, они провзаимодействовали (пока считаем, что больше никаких частиц не существует). Что может случиться с двумя точечными объектами? Единственное: в точке $x$ они столкнулись и разлетелись каким-то образом, как показано на рис. 1.
Рис. 1

Посмотрим, чему может быть равна амплитуда такого взаимодействия. Амплитуду перехода двух частиц из точек $x_{1}, x_{2}$ в точки $x_{3}, x_{4}$ с учетом того, что они встретились в точке $x$, можно записать так:
\[
\begin{array}{c}
G_{12}\left(x_{2}, x_{4} ; x_{1}, x_{3}\right)= \\
=\int G_{1}\left(x_{2}-x\right) G_{2}\left(x_{4}-x\right) V(x) G_{1}\left(x-x_{1}\right) G_{2}\left(x-x_{3}\right) d^{4} x,
\end{array}
\]

где $V(x)$ есть некоторая амплитуда взаимодействия. Однако в силу однородности пространства и времени, она не может зависеть от места и времени встречи частиц, а следовательно, $V(x)=$ const $=\lambda$. Тем самым мы получили конкретную формулу, содержащую единственную const, и где все остальное известно.

Интегрирование в (1.120) производится по всем пространственновременным точкам $x$. В области
\[
t_{1}, t_{3}<t<t_{2}, t_{4}
\]

интерпретация данного процесса очевидна. Однако мы говорили, что в силу релятивистской инвариантности так ограничивать область интегрирования нельзя, поскольку наверняка в интеграле есть и другая область, например:
\[
t_{1}<t<t_{3}, t_{2}, t_{4} .
\]

В этом случае буквальная интерпретация теряет смысл, и картинку естественно перерисовать так:
Рис. 2

Этот график означает, что частица распространялась до точки $x$ и в ней в результате взаимодействия распалась на три частицы. Таким образом, если мы хотим описать процесс, изображенный на рис. 1 , то в силу релятивистской инвариантности нельзя избежать процессов, аналогичных приведенному на рис. 2, поскольку в интеграле (1.120) обязательно существует такая область интегрирования, где процесс обязательно приводит к несохранению числа частиц. Это утверждение, вытекающее из

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0050.jpg.txt

1.6. Взаимодействие бесспиновых частиц
49
релятивистской инвариантности теории, находит свое подтверждение в эксперименте. Это есть то, что непосредственно наблюдается в природе. Рассмотрим амплитуду процесса с рождением частиц, изображенного на рис. 2, и напишем его амплитуду по сформулированным выше правилам. Получаем
\[
\begin{array}{c}
G\left(x_{2}, x_{3}, x_{4} ; x_{1}\right)= \\
=\int G_{1}\left(x_{2}-x\right) G_{2}\left(x_{3}-x\right) G_{2}\left(x_{4}-x\right) \tilde{V}(x) G_{1}\left(x-x_{1}\right) d^{4} x
\end{array}
\]

Мы можем сразу утверждать, что $\tilde{V}(x)=\tilde{\lambda}$. С другой стороны, этот процесс содержится и в (1.120), и при одинаковых временах формула (1.120) должна совпадать с (1.121). Сравнивая их, находим, что, т. к. $G_{2}\left(x_{3}-x\right)=G_{2}\left(x-x_{3}\right)$, значит $\lambda=\tilde{\lambda}$.

Таким образом, предположив существование процесса типа рассеяния (рис. 1), мы с необходимостью пришли к существованию процесса, изображенного на рис. 2, и других, например, превращение частиц типа 1 в частицы типа 2.
Рис. 3

Подведем итоги:
1. Все процессы типа распада и превращения частиц автоматически получаются из процесса, изображенного на рис. 1, в силу симметрии функции Грина.
2. Амплитуды этих процессов $\lambda$ равны между собой, т. е. релятивистская инвариантность предсказывает не только существование различных процессов, но и устанавливает связь между ними.

3. Для последовательной интерпретации таких процессов нужно $n р и$ нять, что функция $G\left(x-x_{1}\right)$ описывает распространение частицы из $x_{1}$ в $x$, если $t_{1}<t$, и из $x$ в $x_{1}$, если $t_{1}>t$.
Частицы могут провзаимодействовать и не один раз, например:
Рис. 4

а также
Рис. 5

причем здесь тоже $x_{1}, x_{3}<x_{2}, x_{4}$. Диаграмму на рис. 4 нельзя получить из предыдущей в силу различной топологии диаграмм – эти две диаграммы отвечают существенно различным процессам. Полная амплитуда процесса в порядке $\lambda^{2}$ получается как сумма этих двух диаграмм. Частицы, распространяющиеся из точек $x_{3}$ и $x_{4}$, тождественны. Учитывает ли наша амплитуда рассеяния тождественность частиц? Выберем порядок времен в диаграммах рис. 3 и рис. 4 согласно $x_{1}, x_{2}<x_{3}, x_{4}$. Это эквивалентно тому, что мы рассматриваем эти диаграммы сверху (меняя соответственно ось времени). Мы приходим тогда к процессу рассеяния $1+1 \longrightarrow 2+2$ с двумя тождественными частицами в конечном состоянии. Полная амплитуда этого процесса, полученная как сумма амплитуд, соответствующих рис. 3 и рис. 4, автоматически симметрична по отношению к перестановке координат тождественных частиц: $x_{3} \leftrightarrow x_{4}$. Иначе говоря, наша амплитуда удовлетворяет обычному квантово-механическому требованию для рассеяния друг на друге частиц со спином ноль.

Можно рассмотреть и процессы с рождением многих частиц, т. е. возможно и такое:

А что если в нашем распоряжении частицы только одного сорта? В качестве исходного процесса опять возьмем рассеяние
Какой из этих процессов более фундаментальный и почему бы, скажем, не быть такому процессу,
т. е. распаду частицы на две? Для реальных частиц этот процесс запрещен законом сохранения энергии-импульса, однако он возможен на конечных интервалах времени. Мы можем описать тогда амплитуду рассеяния реальных частиц как обмен виртуальной частицей, как сумму диаграмм вида

а также
(Если ограничиться двукратным взаимодействием, то других диаграмм нет.) Для получения полной амплитуды рассеяния нужно сложить амплитуды всех этих процессов.

Итак, мораль: в качестве исходного взаимодействия не обязательно брать реальные процессы типа , а все можно получить и из Это и есть простейшее возможное взаимодействие.
Займемся теорией, основанной на таком типе взаимодействия. Напишем для него амплитуду:
\[
G\left(x_{2}, x_{3} ; x_{1}\right)=\int G\left(x_{2}-x\right) G\left(x_{3}-x\right) \gamma G\left(x-x_{1}\right) d^{4} x .
\]

Подставляя выражение для функций Грина (1.118), получим
\[
\begin{array}{l}
G\left(x_{2}, x_{3} ; x_{1}\right)= \\
=\gamma \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} p_{3}}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{3}} \frac{1}{\left(m^{2}-p_{1}^{2}\right)\left(m^{2}-p_{2}^{2}\right)\left(m^{2}-p_{3}^{2}\right)} \times \\
\times \int d^{4} x e^{-i p_{2}\left(x_{2}-x\right)-i p_{3}\left(x_{3}-x\right)-i p_{1}\left(x-x_{1}\right)}= \\
=\gamma \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} p_{3}(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}+p_{3}-p_{1}\right)}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{3}\left(m^{2}-p_{1}^{2}\right)\left(m^{2}-p_{2}^{2}\right)\left(m^{2}-p_{3}^{2}\right)} e^{-i p_{2} x_{2}-i p_{3} x_{3}+i p_{1} x_{1}}= \\
=\int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} p_{3}}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{3}}(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}+p_{3}-p_{1}\right) \times \\
\times G\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) e^{-i p_{2} x_{2}-i p_{3} x_{3}+i p_{1} x_{1}} .
\end{array}
\]

Здесь $\delta\left(p_{2}+p_{3}-p_{1}\right)$ выражает закон сохранения энергии-импульса, а функция Грина в импульсном пространстве выглядит очень просто:
\[
G\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\gamma G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) G\left(p_{3}\right) .
\]

Из (1.123) следует, что частицы виртуальны, поскольку в $G(p)$ входят $p^{2}
eq m^{2}$.

В импульсном представлении формуле (1.123) соответствует график:

Можно показать, что
\[
\begin{aligned}
G\left(x_{1}, x_{2} ; x_{3}\right) & \rightarrow 0, \quad \text { если } \\
t_{1} & \rightarrow-\infty, \\
t_{2}, t_{3} & \rightarrow+\infty .
\end{aligned}
\]

Интегрируя в (1.122) по $d^{4} p_{3}$, получим
\[
G\left(x_{2}, x_{3} ; x_{1}\right)=\gamma \int \frac{d^{4} p_{2} d^{4} p_{1}}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{3}}(2 \pi)^{4} \frac{e^{i p_{2}\left(x_{3}-x_{2}\right)+i p_{1}\left(x_{1}-x_{3}\right)}}{\left(m^{2}-p_{1}^{2}\right)\left(m^{2}-p_{2}^{2}\right)\left[m^{2}-\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}\right]} .
\]

В области интегрирования (1.125) нет точки, где бы все три знаменателя обратились в нуль (все три частицы не могут быть реальными), поэтому в силу частых осцилляций экспоненты в подынтегральном выражении при больших временах интеграл (1.125) стремится к нулю.

Вопрос о возможности реального распада частицы на две решается законами сохранения энергии и импульса, для одинаковых частиц он запрещен, но если бы массы у частиц были разные, то и такой процесс, в принципе, мог бы быть реальным.